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《常数项级数的审敛法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法1、比较审敛法(1)一般形式(2)极限形式2、比值审敛法3、根值审敛法三、任意项级数的敛散性二、交错级数及其审敛法绝对收敛条件收敛1一、正项级数及其审敛法正项级数：部分和数列单增：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界.定理1.若有界,则级数收敛。反之，若级数收敛，则即有界,2证1、比较审敛法（1）一般形式推论若存在自然数N,使得当成立,n≥N时,1).则收敛;2).成立,发散.则收敛,若发散,若例如,级数故原级数发散。发散,而3考虑级数其部分和当时，有则对于∴上述级数收
2、敛。由比较审敛法知,p-级数当p>1时收敛。级数当时收敛;当时发散.结论由比较审敛法知,该级数发散。例1讨论P-级数的收敛性,其中解有当时，而调和级数发散，4例如,发散;收敛.例2.判别下列级数的敛散性:解发散,故原级数发散。收敛,故原级数收敛。级数当时收敛;当时发散.结论5设为正项级数,若证对存在自然数N,当n>N时,有由比较审敛法知结论成立.(2)比较审敛法的极限形式则的敛散性相同。与6例4.判别级数的敛散性。解收敛,故原级数收敛.例5判别级数的敛散性.解而级数收敛,故原级数收敛.取取解取因发散,故原级数发散。例
3、3.判别级数的敛散性:7设正项级数当时,级数发散;当时,级数收敛;当时，敛散性不定。2、比值审敛法(i)<1,因此证由极限定义,存在自然数m,当n≥m时有不等式取适当小的正数,使得+=r<1,而为公比r<1的等比级数,收敛.故级数收敛.8即从而故级数发散.(ii)>1,取适当小的正数,使得>1,由极限定义,当n≥m时有不等式(iii)=1,级数可能收敛也可能发散.易就p级数举出反例.类似可证,9解级数收敛.级数发散.例6判别级数的敛散性:级数收敛.10例7.判别级数的敛散性:解.级数收敛.收敛,
4、故原级数收敛.故原级数收敛.而收敛,11注：ρ=1时,比值审敛法失效,必须用其他的方法来判别.例8判别级数的敛散性.解比值审敛法失效。但而收敛，收敛.由比较审敛法，得12设正项级数例9.判别级数的敛散性:级数收敛。级数收敛.当时,发散;当时,3、根值审敛法级数收敛;当时,敛散性不定。解13二、交错级数及其审敛法交错级数：或若满足:则级数收敛,且其和其余项莱布尼茨定理证单增且有上界,故14例10.判定级数的敛散性:解所以级数收敛.所以级数收敛.15三、任意项级数的敛散性任意项级数：则称为绝对收敛.1).若收敛,2).若
5、收敛,但发散,则称为条件收敛.例如,条件收敛;绝对收敛.为任意实数.定理证设收敛,令由正项级数比较审敛法知收敛.由性质知,收敛.绝对收敛,若级数必定收敛.则级数16例11.判定级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?解因收敛,故原级数绝对收敛.发散,收敛,且为条件收敛。原级数发散.17
