数值分析 李庆杨 Cht4-5习题课.pdf

《数值分析 李庆杨 Cht4-5习题课.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4-5章习题课(数值积分和数值微分,解线性方程组的直接法)一、数值积分与数值微分nb求积公式:af(x)dxwkfk.k0若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式都准确成立,而对于某一个m1次的多项式等式不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度.n由拉格朗日插值Ln(x)lk(x)fk，得到求积公式k0nbbaf(x)dxwkfk,其中wkalk(x)dx，k0称为插值型求积公式.f(n1)()nbb余项:R[f]af(x)Ln(x)dxa(xxj)

2、dx.(n1)!j0nb定理求积公式af(x)dxwkfk至少具有n次代数精度k0它是插值型求积公式.ba将求积区间[a,b]做n等分，步长h,在等距节点nxkakh上的插值型求积公式nb(n)af(x)dx(ba)Ckfk,k0(n)称为Newton-Cotes公式，C称为Cotes系数.k作变换xath，则有hntj(1)nkn(n)nnCk0dt0(tj)dt.baj0kjnk!(nk)!j0jkjk当n1时,得到梯形公式bb

3、af(x)dxT[f(a)f(b)],a2当n2时,得到抛物线公式,也称为辛普森(Simpson)公式bbaabf(x)dxS[f(a)4f()f(b)]，(2.3)a62当n4时,得到柯特斯(cotes)公式baC[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)],90ba其中xkakh,h.(2.4)4(n)柯特斯系数表.n8时C出现负值,NC公式不稳定.k若f(x)在[a,b]上连续,则梯形公式的余项为3(ba)RT[f]

4、ITf(),[a,b].12(4)若f(x)在[a,b]上连续,则辛普森公式的余项为bbaabR[f]ISf(x)dx[f(a)4f()f(b)]Sa624baba(4)f(),[a,b].1802n1hhn1Tn[f(xi)f(xi1)][f(a)2f(xi)f(b)].i022i0n113n3ba2ITn[hf(i)]hf()hf().i0121212hn1n1Sn[f(a

5、)4f(xi1)2f(xi)f(b)].6i02i1hh4n1ba(4)4(4)ISnf(i)hf(),(a,b).1802i02880ba(1)初值T1[f(a)f(b)].2ba(2)令h(i0,1,2,)，计算2in11hT2nTnf(xi1).222i0(3)求加速值SnT2n（T2nTn）/3,CnS2n（S2nSn）/15,RnC2n（C2nCn）/63.(4)满足精度要求；否则，转(2).若一组

6、节点ax0x1xnb,使插值型求积公式nba(x)f(x)dxwif(xi),i0具有2n1次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称此求积公式为高斯求积公式.定理插值型求积公式的节点ax0x1xnb是高斯点n1(x)(xx0)(xx1)(xxn)与任何次数不超过n的多项式P(x)带权(x)正交,即ba(x)n1(x)P(x)dx0.(2n2)f()b2Rn[f]an1(x)(x)dx,[a,b].(2n2)!1hf(x0)

7、f(x1)f(x0)f(),h21hf(x1)f(x1)f(x0)f().h221hf(x0)[3f(x0)4f(x1)f(x2)]f(),2h321hf(x1)[f(x0)f(x2)]f(),2h621hf(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]f().2h321h(4)f(x1)2[f(x0)2f(x1)f(x2)]f().h12基本内容及基本要求1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插

8、值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。3.掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4.了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。5.会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。6.了解几种常用的数值微分方法。二、练习1.判明以下两求积公式的代数精度：11（1）f(x)dx[f(1)2f(0)f(1)]；12111（2）f(x)d