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《数值分析 清华李庆杨第五版第四章 数值积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章数值积分4.0引言我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式求得定积分求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了(2)还有被积函数f(x)的原函数能用
2、初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数并不复杂，但积分后其表达式却很复杂,积分后其原函数F(x)为：(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进
3、行积分是本章讨论数值积分的主要内容。4.1数值积分概述4.1.1数值积分的基本思想积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图4-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)图4-1数值积分的几何意义建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,因而的值也是未知的,称为
4、f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法三个求积分公式①梯形公式y=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如分别取和则分别得到中矩形公式和梯形公式。y=f(x)ababy=f(x)yab③Simpson公式(a+b)/2f()的近似值而获得的一种数值积分方法。中矩形公式把[a,b]的中点处函数值作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。ab(a+b)/2在这三个公式中,梯形公式把
5、f(a),f(b)的加权平均值作为平均高度Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值似值而获得的一种数值积分方法。作为平均高度f()的近（2）先用某个简单函数近似逼近f(x),用代替原被积函数f(x)，即以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将选取为插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替4.1.2插值求积公式设已知f(x)
6、在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式式中这里多项式P(x)易于求积,所以可取作为的近似值，即其中称为求积系数。给出如下定义。定义4.1求积公式其系数时，则称求积公式为插值求积公式。(4.1)设插值求积公式的余项为,由插值余项定理得其中当f(x)是次数不高于n的多项式时，有=0,求积公式(4.1)能成为准确的等式。由于闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。定义（代数精度）设求积公式（4.1）对于一切次数小
7、于等于m的多项式(是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）由定义可知，若求积公式（4.1）的代数精度为n，则求积系数应满足线性方程组：或)这是关于的线性方程组，其系数矩阵是范得蒙矩阵,当互异时非奇异,故有唯一解。定理4.1n+1个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。证:必要性设n+1个节点的求积公式为插值型求积公式,求积系数为又当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度
8、。充分性若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式必要性：若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立,即而取时所以有,即求积公式为插值型求积公式例4.1设积分区间[a,b]为[0,2]，取时时,分别用梯形和辛卜生公式计算其积分结果并与准确值进行比较解:梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示f
