数值分析 李庆杨 Cht6-8习题课.pdf

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1、第6-8章习题课(线性方程组迭代解法,解非线性方程,矩阵特征值)一、解线性方程组的迭代法基本内容及基本要求1.了解迭代法及其收敛性的概念。2.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。3.了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。4.知道分块迭代法。雅可比迭代法计算公式：对k=0,1,…,(0)(0)(0)Tx(x1,,xn),n(k1)(k)xi(biaijxj)/aii,(i1,,n)j1ji(k1)(k)(k

2、)借助矩阵分裂DxLxUxb得到矩阵表示(k1)1(k)1(k)xD(LU)xDbBJxf高斯—塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,…,(0)(0)(0)Tx(x1,,xn),i1n(k1)(k1)(k)xi(biaijxjaijxj)/aii,(i1,,n)j1ji1采用矩阵A的分裂记号,迭代法等价于(k1)(k1)(k)DxLxUxb于是，高斯塞德尔迭代法的矩阵表示形式为(k1)1(k)1(k)x(DL)Ux(DL)bBGxfSO

3、R迭代法的计算公式:对k=0,1,…,(0)(0)(0)Tx(x1,,xn),i1n(k1)(k)(k1)(k)xixi(biaijxjaijxj)/aii,j1ji(i1,2,,n),松弛因子0.采用矩阵A的分裂记号,化为(k1)(k)(k1)(k)(k)DxDx(bLxUxDx）SOR迭代法的矩阵表示形式为(k1)1(k)1x(DL){(1)DU}x(DL)b.定理4一阶定常迭代法(k1)(k)xBxf(0)则对任意初始向

4、量x迭代法(3.5)收敛(B)1.定理7若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。定理8若SOR迭代收敛,则松弛因子02.定理9对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0<ω<2时，SOR迭代收敛.定理10对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0

5、IA.2当0时,由0(A)知,11(B)1(A)11.于是，(B)1,迭代收敛练习1对于方程组211x11111x21，112x31分别写出Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法的计算公式，并考察求解的收敛性.解：雅可比迭代计算公式为(k1)(k)(k)x(xx1)/2,123(k1)(k)(k)x2x1x31,x(k1)(x(k)x(k)1)/2.312雅

6、可比迭代矩阵为10110112221D(LU)1101101111011022211223555

7、IB

8、11,0,i,(B)1.4221122高斯—赛德尔迭代计算公式为(k1)(k)(k)x(xx1)/2,123(k1)(k1)(k)x2x1x31,x(k1)(x(k1)x(k1)1)/2.312高斯赛德尔迭代矩阵为12011(DL)1U11

9、011120100011011222110010112220110001222110,i,(B)1.22注意迭代矩阵与计算公式的关系.问：能否用‘对角占优’定理，或B1或B1？1二、非线性方程求根基本内容及基本要求1.了解求根问题和二分法。2.了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3.了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法

10、和牛顿法下山法,了解重根情形。5.掌握弦截法，了解抛物线法。6.了解非线性方程组的迭代解法。定理1如果迭代函数g(x)C[a,b],并且(1)x[a,b],都有g(x)[a,b],(2)0常数L1,使得x,y[a,b],都有

11、g(x)g(y)