最高考系列 高考总复习2014届高考数学总复习课时训练基础过关+能力训练第七章　推理与证明第3课时　数学归纳法.doc

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1、第七章　推理与证明第3课时　数学归纳法(理科专用)1.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式________．答案：1＋＋＜2解析：∵n∈N*，n＞1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故填1＋＋＜2.2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为________．答案：f(n)＋n－1解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.3

2、.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝________．答案：解析：由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2.又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.4.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，

3、由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．答案：2k解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.5.已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9(n∈N*)，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为________．答案：36解析：∵f(1)＝36，f(2)＝36×3，f(3)＝36×10，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．6.观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，

4、…，则可归纳出____．答案：1＋＋＋…＋<(n∈N*)解析：1＋<，即1＋<；1＋＋<，即1＋＋<，归纳出1＋＋＋…＋<(n∈N*)．7.设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________．答案：－解析：f(n＋1)－f(n)＝－＝＋－＝－.8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为____________．答案：a＝，b＝c＝解析：∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1，2，3时等式成立，即整

5、理得解得a＝，b＝c＝.9.已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an0.则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋－＝>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an

6、n＝1时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝1时原命题成立．②假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除．则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1＝a·＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可知，ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命题也成

7、立．根据①和②可知，对于任意的n∈N*，原命题成立．11.设数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝.下面用数学归纳法证明猜想正确：①当n＝1时，左边a1＝1，右边＝＝＝1，猜想成立．②假设当n＝k时，猜想成立，就是ak＝，此时Sk＝2k－ak＝2k－.则当n＝k＋1时，由Sk＋1＝2

8、(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ak＋1＝[2(k＋1)－Sk]＝k＋1－＝.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由①②可知，an＝对n∈N*均成立．12.已知△ABC的三边长为有理数，求证：(1)cosA是有理数；(2)对任意正整数n，cosnA是有理数．证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝是有理数．(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有s