向量的正交规范化.ppt

《向量的正交规范化.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节向量组的正交规范化一内积的定义和性质三正交向量组二向量的长度与夹角四应用举例五正交矩阵与正交变换1一、内积的定义与性质1、定义设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有2２、性质（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：当且仅当时3１、长度的概念二、向量的长度与夹角令为ｎ维向量α的长度（模或范数）.特别长度为１的向量称为单位向量.4（1）正定性：（2）齐次性：（3）三角不等式：２、性质（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:当且仅当α与β的线性相关时，等号成立.5注①

2、当时，②由非零向量α得到单位向量是α的单位向量.称为把α单位化或规范化.的过程6３、夹角设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹角的余弦为因此α与β的夹角为7例解练习8三、正交向量组1、正交当，称α与β正交.注①若　　，则α与任何向量都正交.②③对于非零向量α与β，92、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组.3、规范正交组由单位向量组成的正交组称为规范正交组.10定理4、性质正交向量组必为线性无关组.115、正交基若正交向量组则称为向量空间Ｖ上的一个正交基.为向量空间Ｖ上的一个基，

3、6、规范正交基若规范正交组则称为向量空间Ｖ上的一个规范正交基.为向量空间Ｖ上的一个基，127、施密特（Schmidt）正交化法设是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空间Ｖ的一个规范正交基，就是要找到一组两两正交的单位向量，使与等价，此问题称为把这组基规范正交化.131）正交化令则两两正交，且与等价.14就得到Ｖ的一个规范正交向量组.Ｖ的一组规范正交基.如果上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.2）规范化令是Ｖ的一组基，则就是注上述方法中的两个向量组对任意的与都是等价的.15四、应用举例例1证明：　中，勾股定理成立的充要条件是　　正交

4、.解所以成立的充要条件是即　　正交.16已知三维向量空间中，例2正交，试求是三维向量空间的一个正交基.解设则即17例3已知向量求　的一个标准正交基.解设非零向量　　都于　正交，即满足方程或其基础解系为18令1）正交化令192）规范化令20五、正交矩阵和正交变换1、定义如果ｎ阶矩阵满足：则称Ａ为正交矩阵.则可表示为若Ａ按列分块表示为Ａ＝亦即其中21①Ａ的列向量是规范正交组.的一个规范正交基.正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间2、正交矩阵的充要条件②Ａ的行向量是规范正交组.注223、正交变换若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交

5、变换.设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变注23判断下列矩阵是否为正交矩阵.2425