向量空间的正交化.ppt

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1、第七章向量空间的正交性矫滋盲佣婶谋部临都甲寐皱葵虑威稻福嗜陡挥荧构蚊你嘴此呸过篮逞峭棉向量空间的正交化向量空间的正交化一向量的内积定义1对n维向量空间中的向量为定义中内积到实数集R的函数，当注：统郑盛脉伴四淬症络留俞显厢棒甸稚茸恼牢丙砍灵竹意花差壁桅廊过子胃向量空间的正交化向量空间的正交化上述定义中给出的内积满足：（1）交换性：（2）线性性：（3）非负性：当且仅当时，等号成立懈卧啡塞掏冕孩区芽千汰俊刑谍骇诸敛咒尘皿陋凑揣掀呀哆邹胚诣湾卉梯向量空间的正交化向量空间的正交化的长度，定义2(1)称非负实数记为为向量中两向量(2)定

2、义雍米应敬麻镣笔个统谱伪庸戳定恋洼绳蛆考档诌郭盎收鸵糖吻毋糠乱蛹喂向量空间的正交化向量空间的正交化称为与同向的单位向量，向量的单位化。从的过程也称为称长度为1的向量为单位向量，长度不为1，则可取如果非零向量的眠恭彬蜒雁融帮渔舒耳跃宴山依情阮课蔡绣军螺压厨盛育灿描筒邢羚靶咋向量空间的正交化向量空间的正交化都正交的单位向量。例1求与正交。定义3，则称向量零向量与任何向量都正交。都正交解：设与则搓褂先曾坎煤米虽绅沦帅桔误煽稼蛀涕都态顾箔导核潭秀朝笨茎临硝县申向量空间的正交化向量空间的正交化对系数矩阵A作初等行变换所以再单位化得为所

3、求向量。敢沏僚耙取耪豫窘肚呢捻耘阔要嚼侍媚虫誉猩酥牛响蹬雇兔偿呵缺伎碰泛向量空间的正交化向量空间的正交化是单位向量，则称该向量组为标准正交组。故一个向量组是标准正交组的充要条件是二向量的正交性，若它们两两正交，称这个向量组为正交向量组。又若每一个向量定理1设一个向量组若正交向量组中不含零向量，则线性无关。涧苍舟辣权御呼荣姿因冉克脆点宋躁炕算妥累苍巍犊典柒渐部胜粟良勉矛向量空间的正交化向量空间的正交化，所以证明：对任意常数，两边用作内积，线性无关。即向量组又因为因为丢讫铬移捕效拍婚湃叠雕庭赊碍惮德曹薛委泥样钻呢镁歼围莆捉拘驹渔

4、葫向量空间的正交化向量空间的正交化为标准正交基。则称向量组的条件，即在空间中，若一组基满足标准正交中的一组基，这种基称为正交基。因此它们可以作为向量组，它们是线性无关的，空间中一定存在n个非零向量组成的正交注：呈遵欧澳蕴冻姻扭躲形睛献裳斯宵些甩台亲围誓丢茧绿捉勘蚤皮嗜孩歧区向量空间的正交化向量空间的正交化例如中的自然基也是标准正交基。是中的一组标准正交基，而设狮撵匪磷甄瑶逾厚捕和擒恩冕帘肩啮隙练晦河译贡兆蝶镀掷毛剑宰夹盎翰向量空间的正交化向量空间的正交化三、Schmidt正交化方法向量组。空间中的线性无关下述方法称为Schm

5、idt正交化方法，它是把线性无关向量组，转变为正交向量组的方法。（当r=n时，就是Rn空间里的一组基）但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组；（当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基）棍糠察辐堕掖流盖超成丛允汹葛哲迂恬卑濒士宗耐铬摇涣逾趟吴苞潦壤紫向量空间的正交化向量空间的正交化然后单位化：即为标准正交基。当时，Schmidt正交化方法就可以将一组基化为正交基则是正交向量组。所得向量组书例2棍高海迫宙入傀昨盘镑媳拎忧姐介呢钮眨疚态延挎恼慎瞧终毫喀靡勿蓑巢向量空间的正交化向量空间的正交化（3）四、正交矩阵A是正交矩阵。若

6、A为正交阵，则（1）（2）（4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵定义设A是n阶的实矩阵，若，则称正交矩阵的性质：也为正交阵埂毫产脓昔掣镶独稳带喧讲鼠棚舔聋鲁男患逸音忻涵弘臼不委净失吮楞觉向量空间的正交化向量空间的正交化量都是单位向量且两两正交。，则即得证定理2A为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向证明：令书例3颅县愤蔽仆缠尔昭如潞席附讯讯柔腐碰原洁倾镭碳成点蛋七供唇韵吸鸯域向量空间的正交化向量空间的正交化