北邮随机信号答案ch5.pdf

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1、第5章习题解答5.1证明：(1)偶函数的希尔伯特变换为奇函数；(2)奇函数的希尔伯特变换为偶函数。证明:（1）设x()t为偶函数,则1xtˆ()=⊗xt()πt111xˆˆ()()−=−⊗txt=x()t⊗=−⊗=−x()tx()tπππ()−−ttt()所以xˆ()t为奇函数。（2）设x()t为奇函数,则1xtˆ()=⊗xt()πt111xˆˆ()()−=−⊗txt=−⊗x()t=x()t⊗=x()tπππ()−−tt()t所以xˆ()t为偶函数。5.2设A()t与ϕ()t为低频信号，证明(1)H[A(t)cos[ωt+ϕ(t)

2、]=A(t)sin[ωt+ϕ(t)]00(2)H[A(t)sin[ωt+ϕ(t)]=−A(t)cos[ωt+ϕ(t)]005.3证明广义平稳过程X()t与其希尔伯特Xˆ()t的相关函数存在下述关系：(1)RXXˆ(τ)=-RˆX(τ)(2)RXˆX(τ)=RˆX(τ)(3)RXˆ(τ)=RX(τ)(4)Rˆ(τ)是奇函数。XX1证明:(1)RXXˆ(τ)=RX(τ)⊗h(−τ)=RX(τ)⊗=−RˆX(τ)π(−τ)1(2)RXˆX(τ)=RX(τ)⊗h(τ)=RX(τ)⊗=RˆX(τ)πτ2(3)因为GXˆ(ω)=GX(ω)H(

3、ω)=GX(ω)所以RXˆ(τ)=RX(τ)1(4)由RRhRXXˆ()ττττ=⊗XX()()−=⊗()−πτ11RXXˆ(−τ)=RX(−τ)⊗=RX(τ)⊗=−RX(τ)⊗h(−τ)=−RXXˆ(τ)πτπτ即Rˆ(τ)是奇函数，因此XXRXXˆ(0)=−RXXˆ(0)=0上式表明，X(t)与Xˆ(t)在同一时刻是正交的。5.4设X()t的解析信号为Z()tXtj=+()Xtˆ()，∗(1)证明：E{Z(t)Z(t−τ)}=2[R(τ)+jRˆ()τ]XX(2)证明：E{}Z(t)Z(t−τ)=0(3)求Z(t)的功率谱密度

4、（假定X(t)的功率谱密度为G(ω)）。X解：（1）RE()τ=−{()(Z!!tZ*tτ)}Z!RE!()τ=+{[()XtjXˆˆ()][(tXtj−ττ)−X(t−)]}Z=RX(τ)+RXˆ(τ)+j[RXˆX(τ)−RXXˆ(τ)]由于RX(τ)=RXˆ(τ)，RXXˆ(τ)=RXˆX(−τ)=−RˆX(τ)，所以上式可简化为RRjZ!()2[()τ=+XXττRˆ()]（3）对上式两边取傅立叶变换，得GGZ!()2[()sgn()()]ω=+XXωωωG⎧4GX(ω)ω>0=⎨⎩0ω<0上式表明，随机信号得的复信号形式

5、，其功率谱密度在负频率为零，而在正频率为随机信号功率谱的四倍。5.5设一个线性系统输入为X()t时，相应的输出为Yt()。证明若该系统的输入为X()t的希尔波特变换Xˆ()t，则相应的输出为Yt()的希尔波特变换Ytˆ()。5.6在复随机过程Z(t)=X(t)+jY(t)中，如果Z(t)的均值E[]Z(t)=E[]X(t)+jE[]Y(t)=m是复常数，且Z(t)的自相关函数Z∗E{Z(t)Z(t−τ)}=R(τ)为仅于τ有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程。设ZA(kn=12,,,?)是n个实随机变量；ω(kn=12,,,

6、?)是n个实数，试问{A}应该满足kkk怎样的条件才能使njωktZ(t)=∑Akek=1是一个复平稳随机过程。5.7设有复随机过程nZ(t)=∑()αicosωit+jβsinωiti=1其中α与β是相互独立的随机变量，α与α、β与β()ik≠是相互正交的，数学期ikikik222望和方差分别为E[α]=E[β]=0,σσσ==。求其复随机过程的相关函数。iiαβiii解：*Rtt(,)=EZtZt{()()}z1212nn⎧⎫=αEt⎨⎬∑∑[iiiicosω11+jβsinωαtt][kkkkcosω22−jβsinωt]⎩

7、⎭ik==11nn=α∑∑Et{[iiiikkkkcosω1122+jβsinωtt][αcosω−jtβsinω]}ik==1nn=∑∑Et{[αikαωω+cosi12cosktjβωisinikt1αωcoskt2ik==1−αβjcosωωttsin+ββωωsinttsin]}ikiki12kik12n22=σωω+∑[ciiiiiiosctt12osσωωsinstt12in]k=n2=σω−∑iicos(tt12)k=5.8设信号X()t的带宽限制在Ω上，证明信号预包络模平方的带宽为2Ω。~证：X(ω)=X(ω)+j

8、Xˆ(ω)=2X(ω)U(ω)1∞Fxtxt{()()}!!**=−X!!(ωω′′)()Xωωd′2π∫−∞预包络平方的付立叶变换为：1∞=−∫[2(Xωωωω′)(UX−′′)][2(ωωω)(U′)]d′2π−∞⎧ΩΩω−≤ω′≤ω+00ΩΩ