【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 6.7数学归纳法配套课件 理 新人教A版.ppt

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1、第七节数学归纳法三年3考　高考指数:★★1.了解数学归纳原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.归纳——猜想——证明仍是高考的重点；2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；3.题型以解答题为主，难度中等偏上.1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n取时命题成立，这一步是归纳奠基.(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立，这一步是归纳递推.完成这两个步骤，就可以断定命题对.第一个值n0(n0∈N*)n=k+1从n0开始的所有正整数n都成立【即

2、时应用】判断下列各说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”)（1）用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1.()（2）数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.()（3）应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时，第一步是检验n等于3.()(4)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”时，验证n=1时,左边式子应为1+2+22.()【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等.（2）正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.（3）正确.第一步

3、检验n=3,即三角形的对角线条数为0.(4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2.数学归纳法的框图表示命题对从n0开始_______________都成立若n=k（k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明__________________n=k+1时命题也成立归纳奠基归纳递推验证n=n0(n0∈N*)时命题成立所有的正整数n【即时应用】（1）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k≥2且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=时等式成立.(2)凸k边形的内角和为f(

4、k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+.【解析】(1)因为假设n=k(k≥2且k为偶数），故下一个偶数为k+2.(2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多π,即f(k+1)=f(k)+π.答案：(1)k+2(2)π用数学归纳法证明等式【方法点睛】用数学归纳法证明等式的规则（1）数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要

5、充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.【例1】(2012·烟台模拟）是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=对一切正整数n

6、都成立.（1）当n=1时，由以上可知等式成立;（2）假设当n=k时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=则当n=k+1时，［（k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)由（1）、（2）知，等式对一切正整数n都成立.【反思·感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证

7、明.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.【变式训练】已知n∈N*，证明：【证明】（1）当n=1时，左边=右边，等式成立；（2）假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即有:那么当n=k+1时，左边=右边,所以当n=k+1时等式也成立.综合(1)、（2）知对一切n∈N*，等式都成立.用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】应用数学

8、归纳法证明不等式应注意的问题（1）当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+