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1、参数方程和普通方程的互化珠海市二中马清太例：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1.将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。2.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x、y的取值范围保持一致。曲线C的普通方程和参数方程是曲线C的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。曲线的参数方程曲线的普通方程.消去参数引入参数（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系（2）点Q(2,a)在曲
2、线l上，求a的值.（3）化为普通方程，并作图（4）若t≥0，化为普通方程，并作图.例1．已知曲线C的参数方程为（t为参数）分析与解答:（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x,y，即可以求出相应t值.所以，令∴t无解，∴点P1不在曲线C上.同理，令∴点P2在曲线C上.（2）∵Q在曲线C上，（3）将代入y=3t2+1,如图.（4）∵t≥0,∴x=2t≥0,y=3t2+1≥1,消去t，得：∴t≥0时，曲线C的普通方程为(x≥0,y≥1).点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x≥0,但不能写成y≥1，这是因为是以x为自变量，y
3、为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来.（1）互化时，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x2的一种参数方程是（）分析:在y=x2中，x∈R,y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，因而与y=x2不等价，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y
4、=x2的一种参数方程.（2）在求x,y的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。注意:解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2∴应选C.例2方程所表示的曲线一个点的坐标是()(θ为参数)例3.参数方程（θ为参数）化成普通方程为.例4：下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是()解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中=ctg2t=即x2y=1，
5、故排除C.∴应选D.例5.直线：3x-4y-9=0与圆：的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心A．线段B．双曲线一支C．圆弧D．射线答案：A。分析由，将其代入，整理得：故该曲线是直线上的一条线段，故选A。例6：曲线的参数方程为，则曲线是：例7：参数方程表示：B．抛物线一部分，这部分过点C．双曲线一支，这支过点D．抛物线一部分，这部分过点分析因为因此，参数方程表示抛物线的一部分，这部分过点，故选B。A．双曲线一支，这支过点1、参数方程A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线的一部分A．直
6、线B．两条射线C．线段D．圆表示的曲线是：2、参数方程所表示的曲线是：3、参数方程所表示的曲线是：练习例1．已知直线l1:x-ky+k=0,l2:kx-y-1=0.其中k为参数，求l1,l2交点的轨迹方程.解法1:求出两直线的交点坐标，即解方程组:当k2≠1时，得到这就是所求轨迹的参数方程，但如果要求轨迹的普通方程，需消去参数k.（k为参数）解法2：由kx-y-1=0，当x≠0时，可得代入方程x-ky+k=0得:点评:①解法2中，方程两边同除以x，会丢x=0的解；方程两边同乘以x，会增x=0的根，所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形.
7、②两种方法得到轨迹的不同形式的方程，只要把参数方程中的参数消去，便可得到同样的普通方程.（不妨试试，可利用加减消元法消去k，但应关注y≠1的限制条件。）去分母，化简得:x2-y2+1=0(x≠0)当x=0时，存在k=0，使得y=-1.所以，所求轨迹的普通方程为:x2-y2+1=0(y≠1).例2:在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：（θ为参数）则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线之距离故当cos(θ-φ)=1，即φ=
8、θ时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(θ-φ)=-1,即θ-φ＝π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).例3：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向
