南京工业大学材料力学-11-能量法.ppt

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1、NanjingUniversityofTechnology材料力学课堂教学软件(11)第11章能量法材料力学11.1杆件的弹性应变能11.2互等定理11.3虚位移原理11.4计算位移的莫尔积分11.5直杆莫尔积分的图乘法11.6卡氏定理第11章能量法第11章能量法11.1杆件的弹性应变能作用在弹性杆件上的力，缓慢增加，变形固体每一瞬间处于平衡状态，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。

2、这时，力所作的变力功为FPΔOΔFP0FP一、作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功11.1杆件的弹性应变能弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态下保持平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，此功为常力功。注：力和位移都是广义的。FP可以是一个力，也可以是一个力偶。1.当FP是一个力时，对应的位移Δ和Δˊ都是线位移；2.当FP是一个力偶时，对应的位移Δ和Δˊ都是角位移。FPΔ´FP11.1杆件的弹性应变能(功能原理）能量法：从功和能的角度出发，分析杆件的内力和

3、位移。二、功能原理11.1杆件的弹性应变能物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为一种能量，储存于杆件内，这种能量称为弹性应变能，简称应变能。等截面杆件拉伸和压缩时的应变能为1.对于拉伸和压缩杆件微段的应变能为dx+dxdxFNFN三、杆件的弹性应变能11.1杆件的弹性应变能FPΔOFN(x)(dx)微段的轴向变形(dx)为2.对于承受弯曲的梁微段两截面绕中性轴相对转过的角度dq为等截面梁弯曲时的应变能表达式dx忽略剪力影响，

4、微段的应变能为MMd11.1杆件的弹性应变能FPΔOM(x)dq3.对于承受扭转的圆轴微段两截面绕杆轴线的相对扭转角d等截面圆轴扭转时的应变能表达式微段的应变能为dMxMx11.1杆件的弹性应变能FPΔOMx(x)dj在小变形时，杆件同时有轴力、弯矩和扭矩作用时，由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因而总应变能为：4.对于一般受力形式（组合变形）注意：1.应用条件：小变形条件，线弹性。2.此处是应变能各种应变能之和，而不是叠加。11.1杆件的弹性应变能3.计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别。4.应变能

5、Ve只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。例题1如图示悬臂梁受到力F作用，该梁长度为l，截面为圆形，直径为d，且l=5d。材料的弹性模量为E。试求：该梁的应变能Vε。11.1杆件的弹性应变能解：梁受到拉伸与弯曲的组合作用因为A=πd2/4，I=πd4/64，l=5d，则应变能为轴力FN=Fcos45°，弯矩M(x)=Fxsin45°11.1杆件的弹性应变能图示悬臂梁。试求：悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度。xABFPl例题211.1杆件的弹性应变能解：图示悬臂梁为弯曲变形xABFPl11.1杆件

6、的弹性应变能应变能为根据功能原理自由端B的挠度为11.2互等定理第11章能量法FP系统FS1FS2FSnS1S2SnFS系统SP1SP2SPmFP1FPmP1P2PmFP211.2互等定理一、功的互等定理FP系统FS系统…FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSn…S1S2SnFS2FS1FSn11.2互等定理FP1FPmP1P2PmFP2FS1FS2FSnS1S2SP1SP2SPm…FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSn…S1S2SnF

7、S2FS1FSn小变形、线弹性范围加载的情形下，最后的应变能Ve只与荷载的最终值有关，与加载顺序无关。11.2互等定理11.2互等定理11.2互等定理功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。如果二、位移互等定理11.2互等定理当力系FS系统和FP系统中各自只有一个力时，则由功的互等定理注意：力是广义的，位移也是广义的。则有这就是位移互等定理。?=?11.2互等定理?=??=?11.2互等定理第11章能量法11.3虚位移原理11.3虚

8、位移原理一、虚位移原理对于刚体，虚位移原理为：如作用在刚体上的平衡力系，当给刚体一微小虚位移时，如果仍然保持平衡，则该力系中所有的力（包括力偶）在各自的虚位移上所作之总功等于零。Fi——作用在第i个质点上的主动力；δri——该质点的虚位移。注：1.虚位移并不是任