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《（高考复习教学教案）对一类分式不等式的概率证法的反思.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2007年第46卷第4期数学通报33对一类分式不等式的概率证法的反思任念兵(上海市育才中学201801)文[1]利用概率中有关数学期望的一个性质柯西不等式设ai,bi∀R(i=1,2,#,n),则22nnnEE证明了一类分式不等式,将概率知识与不222∃aibi%∃ai&∃bi.∋等式证明联系起来,确实给人以启迪.然而,关于这i=1i=1i=1推论1设ai∀R+(i=1,2,#,n),则种较为新颖的证明方法,笔者对文[1]中的某些观nn12点却不敢苟同,下面是笔者对于概率证法的几点反∃ai&∃a
2、n.i=1i=1i思.推论2设ai,bi∀R+(i=1,2,#,n),则1概率证法是创新证法!么n2nnai2∃b&∃bi∃ai.文[1]把这种概率证法称为创新证法!,并称i=1ii=1i=1该证法开辟了分式不等式证明的新途径!,笔者以例1设正数a1,a2,#,an之和为S,求证:n为并非如此.自从概率内容引入高中数学教材后,ain∃(n2).利用概率知识证明不等式问题的研究就如火如荼i=1S-ain-1nnainai的开展起来了,一些数学教学类杂志刊载了不少相证明∃∃+1i=1S-ain-1i=1S-ai关文章;
3、实际上,在概率内容进入新教材之前的文2n2nnSn1献中也不乏此方面的论述,文[2]就是本刊较早刊n-1∃S-a∃&i=1in-1i=1S-ai载的有关利用概率知识处理某些不等式问题的文n1n22(n-1)Sn∃S-a&∃(S-ai)n,由推章.因此,利用数学期望的性质证明不等式问题,也i=1ii=1算不得什么创新证法!,只是由于概率内容引入高论1即证.中教材的时间并不长,这种概率证法尚未被普遍采例2若04、+anna.1-a11-a21-ann-a文[1]指出,利用数学期望的性质证明分式不nnainaai证明+1等式的关键,是构造出适当的离散型随机变量的概i∃=11-ain-ai∃=11-ai率分布列.然而,如何才能构造出适当!的离散型n2n1n12n-a∃1-a&(n-a)n∃&随机变量的分布列呢?从文[1]的所有例题证明中,i=1ii=11-ain笔者看到的只是突兀的构造思路,繁杂的证明过2∃(1-ai)n,由推论1即证.i=1程,总之让人难以得其方法要领,所以这种概率证例3已知a1,a2,#,an∀R+,且a
5、1+a2+#法实在谈不上易于掌握!.怎么办呢?还是先看看+an=1,求证:常用方法吧:222a1a2an1下面不加证明地引入常用的柯西不等式及其a++#+.1+a2a2+a3an+a12推论,并利用推论证明文[1]的几个例题,其它各例na21i证明记an+1=a1,∃均可类似证明.i=1ai+ai+1234数学通报2007年第46卷第4期n2nn2[3]aiai瓦茨不等式:对任意随机变量,,有∃a&∃(ai+ai+1)1∃&i=1i+ai+1i=1i=1ai+ai+1
6、E
7、2%E2E2)nn2∃(ai+
8、ai+1)∃ai,由推论2即证.等式成立当且仅当存在常数t0,使P(=t0)=1.i=1i=1)式的证明方法和∋式一样,都是构造二次函数例4已知ai,bi∀R+(i=1,2,#,n),且nnn2n后利用判别式0,本文从略.在)式中令=1,ai1∃ai=∃bi,求证:∃∃ai.22i=1i=1i=1ai+bi2i=1即得EE.因此,文[1]利用的数学期望性质22n2nn2EE,实际上是概率论中柯西(施瓦茨不等ai1ai证明∃a∃ai∃&i=1i+bi2i=1i=1ai+bi式的特例.名称、结构特征和证明
9、方法的一致,体现nnn2n2ai了代数中的柯西不等式∋和概率论中的柯西(施2∃ai∃ai∃a&∃(ai+bi)i=1i=1i=1i+bii=1瓦茨不等式)的内在统一,文[1]中的概率证法可n2∃ai,由推论2即证.以看成是本文代数证法的一种概率诠释.i=14概率证法有教学价值么从以上证明不难发现,利用柯西不等式的推论虽然对于分式不等式的证明,文[1]的概率证证明此类分式不等式,结构对称优美、思路自然、过法并不易于掌握、不值得提倡,但通过以上的证法程简捷流畅,相比于概率证法,显得更为实用、更比较之后,这种概率证法在解题教学中仍
10、具有一定易于掌握!.价值.3概率证法与代数证法可以沟通么其一,在概率教学中,说明构造概率模型在解虽然,利用数学期望性质的概率方法比利用柯题中的运用,体现概率与其它数学内容之间的紧密西不等式的代数方法要显得突兀、繁琐,但两者都联系,对
