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时间：2020-03-20
《奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式1、2、3、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a＜b，那么有:=-´-4、对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有：5、+=+´´´6、+=+7、=-´´+8、9、10、11、1212.求和：证：13.求和：证：14.求和：证：15.求和：证：16.求和：12证：因为，17、18、19、20、21、22、23、24、【典型例题】例1.计算：分析与解答：12上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分
2、方便了。像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。例2.计算：公式的变式当分别取1，2，3，……，100时，就有12例3.设符号（）、<>代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即另外一种方法设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个
3、就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即12上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故（）和<>所代表的两数和分别为49，32，27，25。【模拟试题】（答题时间：20分钟）二.尝试体验：1.计算：2.计算：3.已知是互不相等的自然数，当时，求。【试题答案】1.计算：2.计算：123.已知是互不相等的自然数，当时，求。的值为：75，81，96，121，147，200，361。因为
4、18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有还有别的解法。裂项法【典型例题】12例1.分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。下面我们用，现在给、一些具体的值，看看有什么结果。当时，有当时，有当时，有……当时，有当时，有上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。因为，……，，所以例2.因为所以同样可得12一般地，因为这里是任意一个自然数。利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例
5、2的结果。例3.计算：分析与解：12而即连续使用上面两个等式，便可求出结果来。【模拟试题】（答题时间：15分钟）二.尝试体验1.求和：2.求和：123.求和：12【试题答案】1.求和：2.求和：3.求和：12
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