裂项计算(奥数)

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1、常规裂项公式：＝－＝(－)×（n＜k)＝［－］×＝［－］×等差数列的求和公式：（1）＝（2）＝＋(n－1)d（3）＝例1.计算：99999×77778＋33333×66666例2.计算：2006×20072007－2007×20062006例3.计算：＋＋＋＋例4.计算：＋＋＋＋例6.计算：2003÷三、计算题1.【清华附中历年真题《计算专题》精选】计算：。2.【101中学历年真题《计算专题》精选】我们规定“※”为一种新运算，它满足式子a※b＝，例如：2※3＝，那么1995※（1995※1995）等于多

2、少？3.【清华附中历年真题《计算专题》精选】计算：4.【101中学历年真题《计算专题》精选】已知，那么的整数部分是多少？5.【四中历年小升初考题精选】计算：。三、计算题1.（清华附中真题）已知n是正整数，规定n！＝1×2×…×n，令m＝1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋2007！×2007，则整数m除以2008的余数为多少？2.（老教协五年级第三次预考）若A＝（2＋1）（）（）（）（）（）（），则A－2011的末位数字为多少？3.计算：4.在括号中填入几个不同的自然数，使得等式成立5.对任意2个数a和b

3、，规定下列两种运算：（1）；（2）【a】表示取小数的整数部分。求【0.20082.008】【20.08200.8】6.【a】表示取小数的整数部分，已知r满足【】＋【】＋【】＋…＋【】＝546，求【100r】的值。二、计算题1.（101中学历年真题精选）计算：（）÷（）÷2.（101中学历年真题精选）计算：3.（四中历年小升初考题精选）计算：4.（四中历年小升初考题精选）计算：5.（东城五中点招），那么当为最简分数时，得多少?6.（东城五中点招），那么当为最简分数时，得多少？7.（老教协预考）规定新运算例

4、如求的结果。8.（十一学校点招）计算：答案:【分析与解】：解决本题的关键是将33333×66666变形为99999×22222。99999×77778＋33333×66666＝99999×(77778＋22222)＝99999×100000＝9999900000【分析与解】可以根据题目中数的特征解题，即20072007＝2007×1000120062006＝2006×100012006×20072007－2007×20062006＝2006×2007×10001－2007×2006×10001＝0【分析

5、与解】利用裂项公式＝－解题。＋＋＋＋＝(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋＋(－)＝1－＝【分析与解】利用裂项公式＝(－)×(n＜k)解题。＝－＝－＝－＝－原式＝(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋＝－＋－＋－＋－＋＝【分析与解】解决本题的关键是运用乘法结合律进行计算。2003÷＝2003÷＝2003×＝三、计算题1.解：m＝1!×1＋2!×2＋3!×3＋…＋2007!×2007＝（1!×1＋1!×1）＋2!×2＋3!×3＋…＋2007!×2007－1!×1＝（2!×1＋2!×2）＋3!×3＋…＋2007!×2

6、007－1＝2!×（1＋2）＋3!×3＋…＋2007!×2007－1＝2!×3＋3!×3＋…＋2007!×2007－1＝3!×1＋3!×3＋…＋2007!×2007－1＝（3!×1＋3!×3）＋…＋2007!×2007－1……＝2008！－1而2008！能被2008整除，所以2008！－1被2008除余2007，因此m除以2008的余数为2007。2.解：将A乘以（2－1），结果不变，根据平方差公式，可得A－2011＝2128－1－2011＝2128－2012；观察的末位数字为2，的末位数字为4，的末位

7、数字为8，的末位数字为6，的末位数字为2，……所以2128的末位数字为6，2128－2012的末位数字为4。3.解：原式＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＝6＋＝6＋＝6＋＝64.解：一般地，有如下方法可将一个分数拆成两个分数单位之和：（1）任选a的两个因数x和y；（2）将的分子，分母同乘（x＋y），得到和；（3）再将两个分数进行约分，得到两个分数单位之和。即，第一个等号后面是扩分，第二个等号后面是拆分，第三个等号后面是约分。分解成差的方法与和相似，把加号变成减号就可以了。若要将拆成n个分数单位之和，

8、可以任选a的n个因数，再按照上面的方法操作。45的约数有1、3、5、9、15、45。所以＝＝＝（答案不唯一）。5.解：这是一道定义新运算的题目。0.20082.008＝0.2008×2＋2.008×3＝0.4016＋6.024＝6.4256；20.08200.8＝20.08×2＋200.8×3＝40.16＋602.4＝642.56；【0.20082.008】【20.08200.8】＝6×2＋642×3＝1938。6.解：这个式子一共有91－