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《2019届高考数学专题10系列4选讲第1讲坐标系与参数方程真题押题精练文.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1讲 坐标系与参数方程1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k
2、x
3、+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2
4、.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为
5、y=-
6、x
7、+2.2.(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解析:(1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与⊙O交于两点.当α≠时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2ts
8、inα+1=0.于是tA+tB=2sinα,tP=sinα.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.3.(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.解析:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(
9、x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0),所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).故tanθ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.1.已知椭圆C:(φ为参数),A,B是椭圆C上的动点,且满足OA⊥OB(O为坐标原点).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点D的极坐标为(4,).(1)求线段A
10、D的中点M的轨迹E的普通方程;(2)利用椭圆C的极坐标方程证明+为定值,并求△AOB面积的最大值.解析:(1)点D的直角坐标为(2,2).由题意可设点A的坐标为(2cosα,sinα),则AD的中点M的坐标为(1+cosα,+sinα),所以点M的轨迹E的参数方程为(α为参数),消去α可得E的普通方程为(x-1)2+4(y-)2=1.(2)证明:椭圆C的普通方程为+y2=1,化为极坐标方程得ρ2+3ρ2sin2θ=4,变形得ρ=.由OA⊥OB,不妨设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+),所以+=+=+==(定值).所以△AOB的面积S=
11、ρ1ρ2===.易知当sin2θ=0时,△AOB的面积取得最大值1.2.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-).(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若P(x,y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ-)的公共点,求x+y的取值范围.解析:(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ-),所以ρ2=4ρsin(θ-)=4ρ(sinθ-cosθ).又ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以x2+y2=2y-2x,故圆C的直角坐标方程为x2+y2
12、+2x-2y=0.(2)设z=x+y.由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0,得(x+1)2+(y-)2=4,所以圆C的圆心是(-1,),半径是2.将代入z=x+y,得z=-t,又直线l过C(-1,),圆C的半径是2,所以
13、t
14、≤2,
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