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1、平面几何多解的方法与技巧初中几何专题复习课授课教师:恩平市东成中学吴根锋通过学习,让学生在证明几何题时能用添加辅助线的方法进行一题多解。学习目标重点与难点让学生掌握添加辅助线的方法与技巧。2课前回顾练习1、已知AE是∆ABC中∠BAC的角平分线,且AE//DF,如图(1)求证:AF=AGBEDFGCA证明:∵DF//AE∴∠EAC=∠F(两直线平行,同位角相等),∠EAG=∠AGF(两直线平行,内错角相等)∵AE是∠BAC的角平分线∴∠EAC=∠EAG∴∠F=∠AGF(等量代换)∴AF=AG图(1)练习2、如图(2)所示,AF=AG,D是BC的中点
2、。证明:BG=CFBDFGCAH∵D是BC的中点,∴∠FGA=∠F∴DG是∆BCH的中位线∴∠HCA=∠H∴BG=GH,∴AH=AC∵CH//DF,∴GH=CF∴∠HCA=∠F,∴BG=CF∠FGA=∠H又∵AF=AG证明:过点C作直线CH使CH//DF交BA的延长线于H,连接CH.如图(2).图(2)多解初探例题:在△ABC中,AE为∠BAC的角平分线,D为BC的中点,过D作平行于AE的直线交CA于F,交AB于G。如图(3)所示。求证:CF=BG。BEDFGCA分析:(要证线段,会联想到证明两个三角形全等,但由已知图形图(3)显然不行,所以我们会
3、联想到添加辅助线,如何添加呢?)方法一:过B直线BH,使BH//CF,交FD的延长线于H,如图(3)H可证∆DBH和∆DCF全等得BH=CF,由已知可证∆GBH为等腰三角形,得BH=BG,所以CF=BG.图(3)BEDFGCABEDFGCA方法二:如果过点C作直线CH,使CH//AB,交FD的延长线于H,如图(4),能否用同样的道理证明CF=BG?方法三:过点B、C分别向FD作垂线,垂足分别为H、K,如图(5),让学生自己找出先证哪两个三角形全等,再证哪哪两个全等即可?HKH图(4)图(5)探索多解方法与技巧第一组:要求添加辅助线后出现三角形的中位
4、线。并利用中位线性质定理进行证明。第二组:要求添加辅助线后使三角形(四边形)成为等腰三角形(等腰梯形),并利用它的性质或定理进行证明。第三组:要求添加辅助线后出现平行四边形。并利用平行四边形的性质或定理进行证明。第四组:要求添加辅助线后出现直角三角形。并利用三角函数中解直角三角形进行证明。①过D点作直线DH使DH//CF,交AB于H,则DH是∆BAC底边AC的中位线。如图(6)。同理图(7)中DH也是中位线。并利用练习1结论证明。BEDFGCABEDFGCABEDFGCA师生共同探讨HHH图(6)图(7)图(8)(第一组:作出三角形的中位线)②延长
5、BA到H,使BG=GH,连接CH,则DG为∆BCH底边CH的中位线。如图(8).证明方法参考练习2.当然还有其他添加方法得到中位线。(第二组:作出等腰三角形或等腰梯形)①过C作直线CH,使CH//FD并与BA的延长线交于H,如图(9).则∆ACH是等腰三角形,则AC=AH,由已知可证AF=AG,BG=GH,所以BG=CF.BEDFGCABEDFGCAHH②过B作直线BH,使BH//FD并与CF的延长线交于H,如图(10).则四边形FHBG是等腰梯形,则FH=BG,由已知可证FH=CF,所以BG=CF.图(9)图(10)(第三组:作出平行四边形)①过
6、点D作直线DH交BG于K,使DH//CF,过点F作直线FH,使FH//CB,连接HB,如图(11)所示。可证四边形DHFC为平行四边形,得CF=HD,由已知条件得KG=KD,KH=KB,所以HD=BG,从而得出BG=FC。BEDFGCABEDFGCAKHHP图(11)图(12)②过点C作直线CH,使CH//DF交BA的延长线于P,过点F作直线FH,使FH//BA交CP的延长线于H,如图(12),四边形GPHF为平行四边形,得FH=GP,由已知条件可证得,BG=GP=FH=FC,从而得出BG=FC。(第四组:作出直角三角形)过点C、B分别向FD作垂线
7、,垂足分别交FD于N、M两点。如图(13)所示,在Rt△GMB中,sin(∠BGM)=BM/BG.在Rt△FNC中,sin(∠CFN)=CN/CF.由已知可证,∠BGM=∠CFN,BM=CN,从而得CF=BG。BEDFGCANM图(13)自我检测1、在上题中要求添加辅助线后出现圆。并利用圆形的性质或定理进行证明。①以C为园心,CF长为半径作园,延长FD与园相交于H点,连接CH。如图(14)所示。则有CF=CH,由已知条件可证△BDG≌△CDH,得CH=BG,所以BG=FC.②以F为园心,CF长为半径作园,延长CF与园相交于H点,连接HB。如图(15
8、)所示。则有CF=FH,由已知条件可证△AHB和△AFG为等腰三角形,得FH=GB,所以BG=FC。BEDFGCABEDF