2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程讲义新人教A版选修2.doc

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1、2．2.1　椭圆及其标准方程1．椭圆(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．应用定义解题时，不要漏掉

4、MF1

5、＋

6、MF2

7、＝2a>

8、F1F2

9、这一个条件．(2)集合的语言描述为P＝{M

10、

11、MF1

12、＋

13、MF2

14、＝2a,2a>

15、F1F2

16、}．2．椭圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)(2)平面内到两个定点F1，F

17、2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)-12-(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√2．做一做(1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，

18、F1F2

19、＝6，动点M满足

20、MF1

21、＋

22、MF2

23、＝10，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．直线C．圆D．线段(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________________．(3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝______，

24、b＝______，c＝________.(4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．答案　(1)A　(2)＋＝1　(3)3　2　　(4)6解析　(1)∵

25、MF1

26、＋

27、MF2

28、＝10>

29、F1F2

30、＝6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆．探究1　　椭圆的定义例1　已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　　)A.＋＝1(x≠±3)B.＋＝1(x≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)[解析]　∵

31、AB

32、＋

33、AC

34、＝8－

35、BC

36、

37、＝6>

38、BC

39、＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又∵A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．[答案]　A拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，-12-这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个应用(1)若

40、MF1

41、＋

42、MF2

43、＝2a(2a>

44、F1F2

45、

46、)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则

47、MF1

48、＋

49、MF2

50、＝2a.【跟踪训练1】　已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解　设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴

51、PB

52、＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距

53、PA

54、＝10－r，即

55、PA

56、＋

57、PB

58、＝10(大于

59、AB

60、)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝

61、AB

62、＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P的轨迹方程为

63、＋＝1.探究2　　椭圆标准方程的应用例2　若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)A．－9[解析]　依题意可得解得

64、0,5)，所以焦距2c∈(0,10)．拓展提升方程＋＝1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是　　　　　　　　　　　　　　　【跟踪训练2】　(1)“3

65、(2)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，求实数m的值．解　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25,a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.综上，实数m的值为4或.探究3　　椭圆的标