《函数的连续性》PPT课件.ppt

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1、为了以后学习研究微积分，我们需要引入性质更好的一类函数，即所谓的连续函数.本课程所研究的函数，基本上都是连续函数.连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面的实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长、物体运动的路程、气温的变化等等.在建立函数连续性定义之前，我们引入增量的概念.函数的连续性一、函数的连续性关于增量有如下定义：理解增量概念时要注意三点:2.连续的定义证例2证这是三角函数和差化积例证由定义2知前者在点x0可以没有定义，后者必须有定义.设x→x0时，f(x)→A，后者必须满足A=f(x0)比较‘极限’和‘连续’的定义，两者有什么区别思考题：这个等式的成立意

2、味着在函数连续的前提下,极限符号与函数符号可以互相交换.这一结论给我们求极限带来很大方便.(1.6.3)4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理1例如,二、复合函数的连续性定理3意义1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续例1解基本初等函数在其定义域内都是连续的.由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所构成的初等函数在其定义域内都是连续

3、的.求初等函数的连续区间就是求其定义域.求初等函数在其定义域内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可.我们不加证明地指出如下重要事实解(1)所以其定义域为所以课堂练习解答：上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f(x)在点x0处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点）.二、函数的间断点定义1.19以下举例说明函数间断点的几种类型yxo-1解所以所以点x=-1称为f(x)的无穷间断点.1.跳跃间断点例5解解xyof(x)在x=0处极限不存在，所以x=0是f(x)的一个间断点.如图所示，这样的间断点称为跳跃间断点.2.可去间断点例6解注意可去间断点只要改变或

4、者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点解即只要在点x=-2改变定义或补充定义,就可以使f(x)在该点连续.yo-4-22x4因此,称x-2时函数极限存在的点x=-2为可去间断点.例9已知函数在点x=0处连续，求b的值.解因为f(x)在x=0处连续,等价于即b=13.第二类间断点例7解例8解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx例9解例10讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解

5、三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别;间断点第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)第一类间断点oyx可去型oyx跳跃型第二类间断点oyx无穷型oyx振荡型思考题思考题解答且但反之不成立.例但