函数的连续性课件.ppt

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1、第五节函数的连续性**函数的连续性**函数的间断点及分类**初等函数的连续性**闭区间上连续函数的性质1渐变tOs。mtO突变。自由落体路程变化模型火箭发射质量变化模型物理特征：一级火箭烧完脱壳时质量发生突变物理特征：路程随时间渐进性地增加几何特征：曲线在　处间断引例：几何特征：曲线　　　连接不断21、函数的增量2、函数在一点处的连续定义3、区间上的连续函数一、函数的连续性3定义设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2，其差称做变量u的增量或改变量，记作，即增量可以是正的，也可以是负的.当为正时，变量u从u1变到是增大的；当为负时，变量u从u1变到是减少的.1、函数的增量452

2、、函数在一点处的连续定义定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，相应的函数增量也趋于零，即则称函数y=f(x)在点x0处连续.6xO断开y图1:　　在　处无定义图2:xOy断开AB7图4:图3:xOy连续AxOy断开AB8可见,函数在点定义2:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;9证明：10注意：11如果则称函数f(x)在点x0右连续.如果定义3:在的某邻域内有定义,它在既左连续，又右连续，则称设函数左连续右连续则称函数f(x)在点x0左连续.如果12如果函数f(x)在

3、开区间(a，b)内的每一点都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f(x)在(a,b)内连续，并且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.函数在区间I上连续，称它是I上的连续函数.3、区间上的连续函数13可以证明：基本初等函数在其定义域内为连续函数.函数f(x)在点x0处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f(x0))处是联结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间I上连续，其图形是一条连接不断的曲线.14定义二、函数的间断点及其分类1516例1正切函数y=tanx在点处无定义，所以点是函数tanx的间断点.但是极限

4、不存在，所以x=0是函数f(x)的间断点.例2例3函数在x=1处无定义，因此x=1是该函数的间断点.17根据函数f(x)在间断点处单侧极限的情况，常将间断点分为两类：(1)若x0是f(x)的间断点，并且f(x)在点x0处的左极限、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点；(2)若x0是f(x)的间断点，但不是第一类间断点，则称x0是f(x)的第二类间断点.间断点的分类:18(1)当与均存在,但不相等时,称为的跳跃间断点;(2)当存在,但不等于在处的函数值时,称为的可去间断点.19在x=0是否为函数f(x)的间断点.例4解即x=0是函数f(x)的间断点,且为可去间断点20在

5、第一类间断点中，如果左极限与右极限相等，即存在.则称此间断点为可去间断点.如例3中x=1为y的可去间断点.例4中x=0为f(x)的可去间断点.这是因为如果x0为f(x)的可去间断点，我们可以补充定义f(x0)或者修改f(x0)的值，由f(x)构造出一个在x0处连续的函数.如2122在点x=0处的连续性.故x=0是函数f(x)的间断点,即为跳跃间断点.例5解23在第二类间断点中，如果当时，可称x0为f(x)的无穷间断点.如例1中为tanx的无穷间断点.如果当时，f(x)的极限不存在，呈无限振荡情形，则称x0为f(x)的振荡间断点.如例4中x=0为f(x)的振荡间断点.24例6解所

6、以f(x)在x=0点连续.25三、初等函数的连续性定理若函数f(x)和g(x)均在x0处连续，则f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)在该点亦均连续，又若g(x0)0，则在x0处也连续.（一）连续函数的和、差、积、商的连续性26（二）复合函数的连续性定理设函数y=f(u)在点u=u0处连续，函数u=(x)在点x=x0处连续,且(x0)=u0，则复合函数y=f[(x)]在点x=x0处连续。27复合函数求极限的方法2829解:30（三）反函数的连续性定理如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=(y)也在对应的区间

7、Iy={y=f(x),xIx}上单调增加（或单调减少）且连续.311．初等函数的连续性定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的．求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性．（四）初等函数的连续性322．利用函数的连续性求极限3334定理闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值．四、闭区间上连续函数的性质353637