函数的连续性 课件.ppt

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1、第四章函数的连续性§1连续性概念可见,函数在点一、连续函数的定义定义1:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;如：函数由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e,存在d>0,这样就得到函数f(x)在点x0可改写为连续性的另外一种表达形式.定义2如果对任意的　　　存在　　当　　　　　时应的函数(在y0处)的增量定义3很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续.点x定理1f在有定义，若的定义可得：例2讨论函数解因为综上所述,所以,作业

2、：讨论函数解因为若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;第一类间断点:及均存在,若f在x0无定义，或者有定义但极限不等于f(x0),称x0为可去间断点若称第二类间断点:及中至少一个不存在,为跳跃间断点.根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：证因为例3所以并且是　的一个可去间断点.第四章函数的连续性§2连续

3、函数的性质局部有界性若f(x)在x0连续，则>0,使f(x)在U(x0,)有界.局部保号性若f(x)在x0连续，且f(x0)>0，则>0,xU(x0,)r>0,有f(x)>r.局部不等式性若f(x),g(x)在x0连续,且f(x0)0,xU(x0,)有f(x)

4、x0连续.根据连续性的定义：例1：定理1(最大值和最小值定理)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.x1x2至少存在一个最高点(x1,f(x1))和最低点(x2,f(x2)),使得x[a,b],有f(x1)≥f(x)f(x2)≤f(x).3.闭区间上连续函数的性质1.若区间不是闭区间,定理不一定成立2.若区间内有间断点,定理不一定成立注意:“闭区间”和“连续”不可缺少.例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.介值定理定理2(介值定理)若函数f(x)在闭区间

5、[a,b]上连续,且f(a)f(b),为介于f(a)与f(b)之间的任意一个数,即f(a)<>f(b),则至少存在一个内点(a,b),使得f()=.123连续曲线y=f(x)与水平直线y=至少有一个交点.推论(根的存在定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号（f(a)f(b)<0）,则至少存在一个点(a,b),使得f()=0.连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的两侧,则曲线与x轴至少有一个交点.若方程f(x)=0左端的函数f(x)在闭区

6、间[a,b]两个端点处的函数值异号,则该方程在开区间(a,b)内至少存在一个根.应用:例1.证明方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.证:令f(x)=x34x2+1，则f(x)在区间[0,1]上连续.又f(0)=1f(1)=2由根的存在定理,(0,1),使f()=0.即342+1=0.故方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.>0,<0,4、反函数连续性定理(反函数连续性)若函数f在区间I内严格单调且连续，记J=f(I),则其反函数f–1在区间J上也严格单调且连续.5、一致连

7、续性定义设f:ER.若>0,>0,x,xE且

8、xx

9、<:则称f在E上一致连续，记为fU.C(E).定理（一致连续性定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续一切基本初等函数都是定义域上的连续函数任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数例：5、初等函数的连续性作业