2019年函数的连续性ppt课件.ppt

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1、一元函数的连续性一、函数的连续性二、函数连续性的运算定理三、最(大,小)值定理和介值定理一、函数的连续性函数的增量1.连续的定义极限运算符号可与函数符号交换位置例1证由定义2知2.单侧连续命题例2解右连续但不左连续,3.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.例如,例3证有界函数与无穷小量的乘积是无穷小连续函数的图形是一条连续而不间断的——可以一笔画成的曲线。抽刀断水水更流子在川上曰：“逝者如斯夫！不舍昼夜。”一棵小树在茁壮成长，越长越高••••••—到处可见的连续性4、函数的间断点1）跳跃间断点例4解2)

2、可去间断点例5解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点。这不禁使人联想到,在金庸的武侠小说里有用什么“黑玉断续膏”抹在人的被切断的肢体上，接起来绑上，过段时间就复原如初；骨科医生处理骨折病人都是将断骨复位，然后再续上……如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点。第一类间断点特点为：改变定义3）第二类间断点例6可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx思考题思考题解答且但反之不成立.例但练习题练习题答案二、函数连续性的运算定理定理1例如,1.连续函数的四则运算定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连

3、续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2.反函数的连续性定理3证3.复合函数的连续性意义1.极限符号可以与函数符号互换;例7解例8解定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★4.初等函数的连续性定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.例9例10解解例11利用反正弦函数的在其定义域内的连续性可得例12求极限那么，下面我们可以怎么做呢？我们猜想其结果为，可是运算的法则呢？★一般地，下面我们来研究以下问题例13解

4、解法讨论三、最(大,小)值定理和介值定理定义:1.最大、小值存在定理定理7(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理8(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定义:2.介值定理几何解释:几何解释:MBCAmab推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例14证由零点定理,例15证例16上述结论我们可以作如下解释：在地球表面任何一个（椭）圆周（即：设想用一个平面与地球表面相交所成）上，地表温度为合理的理解是连续函数，所以存在一个

5、，使得？？？小结连续函数的和差积商的连续性；反函数的连续性；复合函数的连续性；初等函数的连续性。利用函数的连续性获得求极限的又一种方法。如果函数在a点连续，那么闭区间上的连续函数的两个定理——最值定理;介值定理。介值定理根的存在性定理。解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;注意1．闭区间；2．连续函数。这两点不满足上述定理不一定成立。思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数练习题练习题答案三、证明