高中数学必修1同步优化训练第二章函数1A卷(附答案).doc

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1、第二章　函数(一)一、函数●知识网络●范题精讲一、函数的概念及表示【例1】已知f(x)=4x2-2x+1,g(x)=，求f(),f(-x),g(),f［g(x)］,g［f(x)］.解:f()=4()2-2·+1=7,f(-x)=4·(-x)2-2(-x)+1=4x2+2x+1,g()==,f［g(x)］=4［g(x)］2-2［g(x)］+1=4·()2-2·+1=,g［f(x)］===.评注:本题是已知f、g这两个对应法则，求它们的一些函数值或由它们构造的复合函数(值).这类问题只要将自变量x或其代数式直接代入即可解决.若已知的是由两个函数复合而成的复合函数以及其中一个函数，那么怎样去求

2、另一个函数呢？常见的方法有:待定系数法、拼凑法、换元法及消去法等.二、函数的定义域、值域及单调性【例2】(1)已知f(x)的定义域为［1，2)，求函数f(x2)的定义域;(2)已知f(x+1)的定义域为［0，1］，求函数f(x)的定义域.解:(1)由f(x)的定义域为［1，2)，可知f(x2)中自变量x2也应在［1，2)中，故1≤x2<2,∴-

3、般地,已知f(x)的定义域为D,求f［g(x)］的定义域时,令g(x)∈D,解得x的取值范围即为f［g(x)］的定义域;已知f［g(x)］的定义域为D,求f(x)的定义域时,可由x的取值范围求得g(x)的值域,即为f(x)的定义域.【例3】设函数f(x)=-ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在［0，+∞)上为单调函数.解:任取x1、x2∈［0,+∞)且x10,即f(x1)>f(x2).∴a≥1时，函数f(

4、x)在区间［0，+∞)上为减函数.(2)当0

5、x1

6、≥x1,>x2这个结论;③从a的范围看还需讨论0

7、-1(x)=,∴f--1(x+1)=.又∵y=g(x)与y=f--1(x+1)的图象关于直线y=x对称，∴y=g(x)=f--1［f--1(x+1)］=.∴g(3)==.分析二:因为f--1(x+1)与f(x)和g(x)均有联系，所以借助f--1(x+1)直接找到g(x)与f(x)的关系.解法二:由y=f--1(x+1),得x+1=f(y),∴x=f(y)-1.∴y=f--1(x+1)的反函数为y=g(x)=f(x)-1.∴g(3)=f(3)-1=-1=.分析三:利用f(a)=bf--1(b)=a.解法三:设g(3)=t,则g-1(t)=3,∵g-1(x)=f--1(x+1),∴f--1

8、(t+1)=3.∴f(3)=t+1,t=f(3)-1=-1=,即g(3)=.评注:在求解与反函数有关的问题时，要充分利用原函数与反函数性质、图象间的关系.本题中注意不要将y=f--1(x+1)的反函数误认为y=f(x+1).四、二次函数、分段函数的应用【例5】如图,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为2cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y与x的函数解析式,并画出大致图象.分析:要注意动直线在移动的过程中所围成的几何体的形状及相应图形的面积公式.解:过点A

9、、D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G、H.因为ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2cm,所以BG=AG=DH=HC=2cm.又BC=7cm,所以AD=GH=3cm.(1)当点F在BG上,即x∈(0,2］时,y=x2;(2)当点F在GH上,即x∈(2,5］时,y=2+(x-2)·2=2x-2;(3)当点F在HC上,即x∈(5,7］时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=-(x-7)2+10.所以,函