本科概率论与数理统计课件第三章新.ppt

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1、第三章多维随机变量及其分布一、二维随机变量二、边缘分布三、相互独立的随机变量四、两个随机变量的函数的分布定义1设随机试验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个向量称为二维随机变量或二维随机向量。定义2设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或联合分布函数。第一节二维随机变量二维分布函数的几何意义处的函数值:在随机点落在以为顶点的左下方矩形开域上的概率。所以性质：②①是变量和的不减函数，即对任意固定的，当时，对任意固定的，当时，③关于右连续，即例1.设的分布函数为求常数的值及概率解由分布函数的性质得定义：若二维随机变

2、量的所有可能取值是有限对或可列无限多对时，则称为离散型随机变量。一、二维离散型随机变量的分布律。称为二维随机变量性质：二维离散型随机变量的分布函数为例1、将骰子抛两次，X—第一次出现的点数，Y—第二次出现的点数，求（X,Y）的分布律。解：YX123456123456例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。解可能取值均为1,2,3.同理可得所以的分布律为01/61/121/61/61/61/121/60123123定义：设二维随机变量的分布函数为若存

3、在使得对任意实数总有则称为二维连续型随机变量,称为的概率密度,或称为随机变量和的联合概率密度。二、二维连续型随机变量①②f(x,y)的性质:③若在点连续，则有④,即连续型随机变量在某点的概率为0。G表示xoy平面上落在此区域上的概率相当于以G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。注：的区域,例3设二维随机变量的概率密度试求：⑴常数的值；⑵分布函数⑶概率⑷概率解⑴由概率密度的性质得从而得⑵由分布函数的性质⑷⑶将看作平面上随机点的坐标，有例4设二维随机变量的概率密度为试求概率解积分区域如右图所示的分布函数为例5已知试求：⑴的概率密度⑵解⑴由概率密度的性质知⑵的概率密度

4、为例6已知⑴求常数A的值；⑵求的分布函数解⑴由性质可得所以⑵由于①当或时，②当时，（如下图3-5(1)）③当时，（如下图3-5(2)）④当时，（如下图3-5(3)）⑤当时，（如下图3-5(4)）故边缘分布第三章二、边缘分布律一、边缘分布函数三、边缘概率密度第二节一、边缘分布函数的分布函数为分别的分布函数为设记和的边缘分布函数。，称为关于和则同理可得研究问题：已知联合分布，怎样求X,Y的边缘分布。例1:已知的分布函数为的边缘分布函数和求关于问各服从什么分布？解:的边缘分布函数为关于同理，二、离散型随机变量的边缘分布律设的分布律为则关于的边缘分布律为记做记做同理

5、通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律三、连续型随机变量的边缘概率密度若是二维连续型随机变量,其概率密度为则:同理关于X和Y的边缘概率密度。分别是解:例2.上服从均匀分布,密度和的概率密度为xy01y=x当当当当例3已知解当当合并即可例4已知解当当合并即可由对称性得注：联合分布边缘分布书70页：例5，6，7说明：①二维正态分布的边缘分布为一维正态分布；②边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确定联合分布。相互独立的随机变量第三章二、n个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性第四节均有一、两个随机变量的独立性定义1若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量

6、是相互独立的。即1)对于离散型的随机变量，X与Y独立的充要条件为：2)对于连续型的随机变量，X与Y独立的充要条件为：几乎处处成立。例1设随机变量相互独立，试确定a,b,c的值？解：因为相互独立例2设随机变量的概率密度为试问与是否相互独立?解因为关于的边缘概率密度故与是相互独立的。例3.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们到达时间均匀分布在晚上7:00—7:30,且时间相互独立,求：两人在5分钟之内能见面的概率。解设张三到达的时间为X；李四到达的时间为Y，所以，所求概率为注：关于正态分布的重要结论。（79页）二、n个随机变量的独立性(参79-80页)定

7、理设随机变量相互独立，h,g是连续函数，则随机变量也相互独立。课堂练习：设随机变量(X,Y)的概率密度为讨论X和Y是否相互独立。二维随机变量的函数的分布第三章一、离散型随机变量函数的分布第五节二、连续型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量的函数的分布设离散型随机变量的分布律为设为二元函数，求的分布律。当时，Z相应的值为且有若Z的取值各不相同，则上式就是Z的分布律；若有些相同的，则把相应的概率求和即可。例1假设随机变量(X,Y)的分布律为分别求的分布律，并判断是否独立？解且=0.19.Zp01230.070.370.370.19所以，同理可得下表化简整理，

8、得各函数的分布律为：因为而不相互独立。故例2假设随机