概率论与数理统计课件第三章.ppt

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1、第三章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布3.1例1.甲乙掷色子,观察点数。w1i={甲掷i点}w2j={乙掷j点}(i,j)i,j=(1,2,…,6)X,Y对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w)和Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量的定义X(w),Y(w)w.(x,y)xy联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分

2、布函数。xy(x,y)2.0≤F(x,y)≤11.x1

3、分布律。XYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………联合分布列联合分布律的性质例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个是次品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取，求（X,Y）的概率分布。(X,Y)——(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)(1)有放回抽取{X=i}与{Y=j}相互独立(2)无放回抽取{X=i}与{

4、Y=j}不独立二维连续型随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对任意的实数x,y,都有则称(X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合分布密度。联合概率密度的性质f(x,y)并不是二维随机变量(X,Y)取值(x,y)的概率，而是反映了(X,Y)集中在点(x,y)附近的密集程度。例2.设(X,Y)的概率密度是求(1)C的值;(2)分布函数;(3)（X,Y）落在如图三角形区域内的概率。xyy=2-2x解

5、:(1)C=1(x,y)(x,y)(x,y)(2)当x≤0或y≤0时,F(x,y)=0xy(x,y)xyy=2-2xG12常见的二维连续型随机变量的分布均匀分布设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为其中为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。例3.设(X,Y)在区域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)上服从均匀分布，求(1)(X,Y)的分布函数；(2)P(Y>X2).Auvy=2xG24(x,y)(x,y)(1)当x≤0或y≤0时,F(x,y)=0当x≥2,y≥4

6、时,F(x,y)=1BCD(x,y)(x,y)当0≤x≤2,y≥2x时,当x≥2,00,σ2>0,

7、ρ

8、<1,则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布。记作(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)边缘分布与独立性3.2边缘分布设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(X≤x,

9、Y≤y),则随机变量X的分布函数称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。边缘分布xyFX(x)xyFY(y)二维离散型随机变量的边缘分布设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为p·jp·1p·2…p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...………

10、……1例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个是次品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。(1)有放回抽取(2)无放回抽取pi·2/53/5p·j2/53/51pi·2/53/5p·j2/53/51二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和f(x,y),则分别称为(