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1、空间几何体的表面积与体积知识探究(一)柱体、锥体、台体的表面积思考1:面积是相对于平面图形而言的,体积是相对于空间几何体而言的.你知道面积和体积的含义吗?面积:平面图形所占平面的大小体积:几何体所占空间的大小思考2:所谓表面积,是指几何体表面的面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积?怎样计算直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积?各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积.思考3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,侧面都是曲面,怎样求它们的侧面面积?思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征?如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么圆柱的表面积公式是什么?思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征?如果圆锥的底
2、面半径为r,母线长为l,那么圆锥的表面积公式是什么?思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些特征?如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r,母线长为l,那么圆台的表面积公式是什么?思考7:在圆台的表面积公式中,若r′=r,r′=0,则公式分别变形为什么?r′=rr′=0知识探究(二)柱体、锥体、台体的体积思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗?它们可以统一为一个什么公式?思考2:推广到一般的棱柱和圆柱,你猜想柱体的体积公式是什么?高h底面积S思考3:关于体积有如下几个原理:(1)相同的几何体的体积相等;(2)一个几何体的体积等于它的各部分体积之和;(3)等底面积等高的两个同类几何体的体积相
3、等;(4)体积相等的两个几何体叫做等积体.将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与三棱柱的体积有什么关系?123123思考4:推广到一般的棱锥和圆锥,你猜想锥体的体积公式是什么?高h底面积S思考5:根据棱台和圆台的定义,如何计算台体的体积?设台体的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,那么台体的体积公式是什么?高h下底面积S上底面积S′思考6:在台体的体积公式中,若S′=S,S′=0,则公式分别变形为什么?S′=SS′=0知识探究(三):球的体积表面积思考1:从球的结构特征分析,球的大小由哪个量所确定?思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什
4、么?思考3:如图,对一个半径为R的半球,其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系?思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积,你猜想半球的体积是什么?思考5:由上述猜想可知,半径为R的球的体积,这是一个正确的结论,你能提出一些证明思路吗?思考6:半径为r的圆面积公式是什么?它是怎样得出来的?a1a2a3ana4思考7:把球面任意分割成n个“小球面片”,它们的面积之和等于什么?o思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗?思考5:经过球心的截面圆面积是什么?它与球的表面积有什么关系?球的表面积等于球的大圆面积的4倍几何体的表面积例1已知三棱锥的顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心,三棱锥的侧棱长为
5、10cm,侧面积为144cm2,求棱锥的底面边长和高.解:如图所示,三棱锥S-ABC,SA=10.设高SO=h,底面边长为AB=a,连接AO并延长交BC于D点,连接SD,几何体的体积例2如图所示,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8,若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为多少?解:当侧面AA1B1B水平放置时,水的形状为四棱柱形,底面ABFE为梯形.例3如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为()A.1∶1∶1B.1∶1∶2C
6、.1∶2∶4D.1∶4∶4图8-2-3设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S.【答案】C例4已知A、B、C为球面上三点,AC=BC=6,AB=4,球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半,求这个球的表面积和体积.ABCOM几何体的折叠与展开例4(1)将无盖正方体纸盒展开,如图所示,则直线AB、CD在原正方体中的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面直线D.相交成60°【解析】折起后如右图所示,由于点B、D重合,所以AB、CD相交又∵AB=BC=CA∴∠ABC=60°∴AB、CD相交成60°,故应选D.解:由题意知BC=3πcm,AB=4πcm,点A与点C分别是铁丝
7、的起、止位置,故线段BC的长度即为铁丝的最短长度.2)有一根长为3πcm.底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少?例5有一块边长为4的正方形钢板,现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作如下设计:在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高是小正
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