小波变换课件ch3多分辨分析与正交小波的构造.ppt

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1、第三章多分辨分析与正交小波的构造3.1多分辨率分析3.1.1的小波空间分解如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平移函数族将构成中的正交规范基。进而任何函数可以展开为二重求和的小波级数:进而有是信号中含有的以第j级小波的平移函数族为基的展开式,可简称为的第j级小波分量第j级小波空间如果是正交小波，则的小波空间分解理论上是完美的，实践中是行不通的※小波级数的双重无限和难以实现无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作近似处理？※k表征平移位置，只须在有限范围内取值※j对应信号的某一频率范围，在正整数域中取值的上界总是有限的，在负整数

2、域中取值至-∞是不可避免的J级尺度空间尺度空间的性质※潜套性※完备性※稠密性※互补性※尺度性质3.1.2尺度空间的定义和性质逼近性尺度函数如果函数的平移族是空间V0的Riesz基则称为一个尺度函数。目标：下式成立(3.1.13)定理3.1:如果是空间的Riesz基,并且它和小波函数存在如下关系则式(3.1.13)成立二尺度关系具有潜套性，完备性，稠密性，互补性，尺度性质的空间序列{}称为由尺度函数生成的一个多分辨率分析(MRA)对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高。对于任意一幅图

3、像，都可以用不同的量化空间来表示，细节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一的部分可用低分辨率来表示。我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多分辨空间Vj，显然这些量化空间是相互嵌套的，从图像处理的角度，多分辨空间的分解可以理解为图像的分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成量化空间Vj中的图像，则可理解为Vj空间中的图像有一部分保留在Vj-1空间中，还有一部分放在Wj-1空间VjWj-1Vj-1小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说空间Wj包含了函数f投影到尺度空间Vj与Vj-1间的细节差别，因此小波空间

4、有时又称为细节空间。3.1.3基于正交尺度函数和小波函数的分解为了生成一个MRA，在小波函数已经确定的情况下，需要构造与之对应的尺度函数。反之，如果已知尺度函数，则需要构造与之对应的小波函数MRA中特殊情况：正交尺度函数正交小波函数小波函数与尺度函数正交在上述前提下，小波级数可改写为V0空间Vj空间3.2正交小波构造的理论基础二尺度关系的频域表达＝1尺度函数完全由二尺度关系中的序列{hk}确定从信号处理的角度，h是与(t)对应的低通滤波器，g是与(t)对应的高通滤波器{h，g}既可以表示为时域上的离散序列形式{hk，gk}k

5、Z，也可以表示为频域上的2周期函数{h()，g()}。两者本质上是一样的。Riesz条件的频域表达（定理3.2)如果函数满足Riesz条件那么满足下列不等式，反之亦然。定理3.3的平移族构成空间的正交规范基的必充条件是推论3.1根据定理3.2和3.3,可推出如下结论:如果是尺度空间的Riesz基，那么由所确定的函数的平移族是同一尺度空间的正交规范基。Poisson公式利用Poisson公式可以得到部分定理的证明定理3.4平移族是的正交规范基的充要条件是满足定理3.5当，有定理3.6小波函数的平移族能够张成在空间中正交补的

6、充要条件是它对应的满足构造正交小波的基本条件定理3.7在满足构造正交小波的基本条件(3.2.11)，取（3.2.16)则(3.2.13)和(3.2.14)式成立。推论3.2(3.2.16)式等价于尺度函数与小波函数的对比定义：时域二尺度关系：频域二尺度关系系数之和递推关系频域初值正交尺度函数的构造尺度空间的Reisz基正交尺度函数性质？问题:不是的规范正交基.目标:构造一个小波,使构成的规范正交基.正交小波函数的构造令,则的标准正交基.是构成的标准正交基。即是一个小波。是一个正交小波。MRA时域求解过程：频域求解过程：构造正交小

7、波的方法3.3B_样条函数m阶B_样条函数可由递推定义为B_样条函数的基本性质：非负性紧支撑Fourier变换整数节点上的值之和为1微分性质插值公式对称性质以m/2为对称中心平移m/2B_样条函数的尺度函数性质定理3.8是中的Riesz基。3.4利用B_样条函数构造正交小波从B_样条函数的正交化入手,可按如下步骤构造正交小波函数：Step1利用正交化公式计算,并进行IDFT得……M=8;Nm=zeros(M,M+1);%行表示m次样条，列表示整数k:0~MNm(2,2)=1;form=3:Mfork=2:MNm(m,k)=(k-

8、1)*Nm(m-1,k)/(m-1)+(m-k+1)*Nm(m-1,k-1)/(m-1);%此处系数k减1是因为第k列代表得是整数k－1endend……Nm=00000000001.0000000000000.50000.500000000000.16670.6