chapter 3 多分辨分析与双正交小波的构造

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1、Chapter3多分辨分析与双正交小波的构造1.多分辨分析定义：空间L中的一列闭子空间称为L上的一个多分辨分析或逼近.如果满足下列条件:单调性:.逼近性:,.(3)伸缩性:(4)平移不变性:.(5)Riesz基:,构成的Riesz基，即，且，称g为尺度函数（scalingfunction）;1．分析按Mallat:高分辨率空间与低分辨率空间的差，即为一个小波。所以，由可得到可得到V0V1……………所以多分辨率分析只取决于一个函数(由可以得到V0)。2．不同子空间中函数间的关系同理可得：;的基为因此，..定理：构成的规范正交基，；其中：可以证明：若构成的规范正交基，则：

2、构成的规范正交基。——j-尺度，k-平移。由于为中子空间，（在中的正交补）。由（1）：由（2）：于是称称为小波空间，称为尺度空间。由（1）得若，即构成L2(R)故：由于：而;可以推得：小波空间的性质：1．平移不变性：；2．伸缩性：；也就是说由所决定。考虑：当给定时，是否一定构成的规范正交基。假设当给定时，构成的正交基，称为正交小波。则的规范正交基为，其中；由得：的规范正交基为，即：；由，，；；双尺度方程：(两个不同尺度之间的关系)由得：称，（）例为满足的双尺度方程。即：对两边作Fourier变换（*），其中由（*）得：因此，由（*）有：………………………………（1）由

3、于构成的规范正交基………………………………（2）由于要求∴——双尺度方程。∴对两边作Fourier变换：，其中由………………（3）由构成的规范正交基………………………………（4）因此，由（1）、（2）、（3）、（4）得，对要使得：，且构成的规范正交基，，且构成的规范正交基，而且，成立的必要条件为：两个双尺度方程为：取必要条件变为：因此：。