正交小波基与多分辨分析

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1、§4正交小波基与多分辨分析正交小波多分辨分析小波函数和小波空间信号空间L2(R)的分解双尺度方程标准正交小波基的构造滤波器系数h(k)和g(k)的性质Mallat快速算法紧支集正交小波的性质正交小波定义：设有允许小波，记，其中为任意的整数。如果函数族构成空间的标准正交基,则称是正交小波母函数或简称正交小波称为正交小波基。函数族正交小波对任意，存在唯一的展式：其中称为的小波系数正交小波级数分解小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正交小波则可以使变换后所产生的冗余

2、消失。正交小波两个正交小波的例：例4.1经过二进伸缩与平移可得到是的一个标准正交基，但此小波基是一族阶梯函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。它的时间局部性非常好，但频域局部性不好Haar小波正交小波Shannon小波的一切平移所生成的函数系构成了子空间的一个标准正交基尺度函数令，则具有标准正交基例4.2正交小波且对任意有于是正交小波令在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。它的整的平移族的标准正交基的标准正交

3、基对任意Shannon小波基多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间1.单调性：2.逼近性：3.伸缩性：4.平移不变性：5.Riesz基存在性：多分辨分析参考子空间V2V1V0多分辨分析由条件(5)可证明如下定理从而可构造正交尺度函数的标准正交基．注：定理：正交基，事实上可取下式定义的函数：存在函数，使得构成的标准的一个标准正交基由此说明可由的闭子空间的Riesz基小波函数和小波空间设是正交多分辨分析，将中的正交补子空间记作，则从而得到的一系列闭子空间满足：V2V1V0W2W1称为小波函数，称为尺度为j的小波空间(

4、细节空间)信号空间L2(R)的分解假设由母小波产生的小波函数空间的标准正交基，令：细节分量近似分量(t)()a,b(t)a,b()中心t00at0+b0/a有效宽度DtDaDtD/a使用db1小波对一维信号leleccum进行3层分解，得到近似分量和细节分量，如图示图4-1例4.3双尺度方程双尺度方程频域表示标准正交小波基的构造—尺度函数的性质：低通滤波器带通滤波器标准正交小波基的构造—H()和()的关系：标准正交小波基的构造—H()的条件：标准正交小波基的构造—G()的条件：—H()

5、与G()的联合条件：标准正交小波基的构造—两尺度序列hn的条件：标准正交小波基的构造—hn和gn的关系：标准正交小波基的构造1、选择满足条件的两尺度序列hn2、计算尺度函数3、计算母小波滤波器系数h(k)和g(k)的性质Mallat快速算法Mallat塔式快速分解算法Mallat塔式快速重构算法Mallat算法结构示意图Mallat快速算法Mallat快速算法初始系数的选取首先根据实际信号，确定逼近空间，然后选取最小，即中的最佳逼近。初始函数的选取，本质上是系数1、小波变换法2、直接选取法3、取样函数法其中尺度函数

6、的支撑区间是[0,L]，且尺度函数连续只作不同频带的信号分解时可用该法，不适于提取分形指数和作时频分析其中Mallat快速算法边界效应实际的数字信号总是有限长序列，而大多数小波滤波器的长度都大于1，所以mallat算法在信号的边界上必然将滤波器强行截去一部分后再作用于这个有限长序列来实现小波分解。这样，经过后续处理后重构得到的信号与原始信号不可避免的在边界上产生较大的误差。边界延拓设实际的数字信号长度为N，即c={c0,c1,…cN-1}，又设滤波器的长度为m。进行小波分解时只需要在信号的两端个延拓L个元素即可，其中

7、L为m/2的上整数(大于m/2的最小整数)。Mallat快速算法零延拓简单的周期延拓：N长序列以N为周期进行延拓缺点：若输入信号在边界点的值与零有很大的差别，补零在边界处产生很大的阶跃变化，从而给这一局部引入大量的高频成分；数据量增加缺点：当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的剧烈突变，在边界附近引入高频成分Mallat快速算法以边界点为对称中心的周期延拓延拓后信号一个周期内有两个对称中心。当采用有限长滤波器c(n)对延拓后的信号进行滤波时，输出信号也是周期为2N-2的周期序列。如果c(n)不具

8、有任何对称性，那么输出信号将没有输入信号那样的对称性，为了完全重构，必须取一个完整的长度2N-2的主周期，然后下采样，使计算量增大了几乎一倍。1.将信号延拓为2.将作以2N-2的周期延拓Mallat快速算法但滤波器有对称性，输出序列具有对称性。此时为了完全重构，只需保留[0,N-1]的数据，不需要保留整周期的数据。此时输出序列以-0.5和N-1