第小波变换与多分辨分析.ppt

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1、小波理论及其应用文鸿雁2011.5第2章小波变换与多分辨分析小波理论及其应用第1章小波分析简介第3章小波滤波去噪方法第2章小波变换与多分辨分析第4章小波基构造第5章小波主要应用第2章小波变换与多分辨分析1.连续小波变换4.多分辨分析2.离散小波变换与二进小波变换3.小波分解与重构简介小波定义约定一尺度函数写成　　　（时间域）和（频率域）；小波函数写成（时间域）和　　　　（频率域）。考虑平方可积的函数空间　　　它是定义在整个实数轴R上的满足要求(1)的可测函数　　　的全体组成的集合,并带有相应的函数运算和内积

2、。工程上常常说成是能量有限的全体信号的集合。1.连续小波变换概念1能量有限的全体信号小波（基本小波或母小波(MotherWavelet)）就是函数空间　　　　　中满足下述条件的一个函数或者信号　　　　：(2)这里,表示非零实数全体。有时,也称为小波函数,或称母小波，上式称为容许性条件(AdmissibleCondition),满足式上式的小波函数　　　　　也叫允许小波。1.连续小波变换概念2允许小波1.连续小波变换概念3小波对于任意的实数对(a,b),其中,参数a必须为非零实数,称如下形式的函数(3)为连续

3、小波，它是由小波母函数经伸缩和平移后生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数序列（小波序列）,简称为小波。(1)式(3)中a为伸缩因子，b为平移因子，若应用领域不同，可以选择不同的参数a、b。如果小波母函数的Fourier变换在原点　是连续的,那么,公式(2)说明,即(4)这说明函数有“波动”的特点,另外,公式(1)又说明,小波函数只在原点的附近它的波动才会明显偏离水平轴,在远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零,整个波动趋于平静。这是称函数为“小波”函数的基本原因。1.连续小波变换概念3小波　说明(2)对

4、于任意的参数对(a,b),显然但是,这里却是在t=b的附近存在明显的波动,而且,有明显波动的范围的大小完全依赖于参数a的变化。当a=1时,这个范围和原来的小波函数的范围是一致的；当a>1时,这个范围比原来的小波函数的范围要大一些,小波的波形变矮变胖,而且,当a变得越来越大时,小波的波形变得越来越胖、越来越矮,整个函数的形状表现出来的变化越来越缓慢；当0

5、式(3)中定域增大，窗口变大；当时，则窗口变小，窗的高度增加，窗口面积大小不变（b一定时）。以上体现了小波的“变焦”能力。1.连续小波变换概念3小波　说明为了使信号分解(Decomposition)及重构(Reconstruction)的实现在数值上是稳定的，要求小波基函数应该满足下面的约束条件：(1)；(2)在原点必须等于0，即；(3)。稳定条件1.连续小波变换概念3小波　说明对于任意的函数或者信号,用小波函数集　　　进行分解运算，其连续小波变换为1.连续小波变换：式中，<‥>为内积，　　是　　的共轭，W

6、表示小波变换。因此,对任意的函数,它的小波变换是一个二元函数。这是和Fourier变换很不相同的地方。因为小波母函数　只有在原点附近才会有明显偏离水平轴的波动,在远离原点的地方函数值将迅速衰减为零,整个波动趋于平静,所以,对于任意的参数对(a,b),小波函数在t=b的附近存在明显的波动,远离t=b的地方将迅速地衰减到0,因而,从形式上可以看出,式(5)的数值表明的本质上是原来的函数或者信号在t=b点附近按进行加权的平均,体现的是以为标准快慢的的变化情况,这样,参数b表示分析的时间中心或时间点,而参数a体现的

7、是以t=b为中心的附近范围的大小,所以,一般称参数a为尺度参数,而参数b为时间中心参数。1.连续小波变换由定义知，信号的连续小波变换是基本小波经平移、伸缩、复共轭后与信号的互相关。一般基本小波选为其有限支撑集或衰减较快的函数，由Fourier变换理论知，伸缩系数a很小时，有小的时域支撑集，有效频谱宽，此时　　反映了信号的局部细致特征，即信号时域总体分布。1.连续小波变换小波重构，与Fourier变换类似，小波变换也有逆变换（重构）公式其中1.连续小波变换连续小波变换的性质与特点一、小波变换的Parseval

8、恒等式(Parseval’sIdentity)1.连续小波变换对空间　　中的任意的函数　　　和　　都成立。这说明,小波变换和Fourier变换一样,在变换域保持信号的内积不变,或者说,保持相关特性不变(至多相差一个常数倍),只不过,小波变换在变换域的测度应该取为,而不象Fourier变换那样取的是众所周知的Lebesgue测度,小波变换的这个特点将要影响它的离散化方式,同时,决定离散小波变换的特殊形式。1.连续小