概率论与数理统计教程_一.pdf

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1、第一章随机事件与概率习题1.11．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1）Ω={(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（2）Ω={(x1,x2,

2、x3)：x1,x2,x3=1,2,3,4,5,6}；（3）Ω={(1)，(0,1)，(0,0,1)，(0,0,0,1)，…，(0,0,…,0,1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω={BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW}，其中黑球记为B，白球记为W，红球记为R；（5）Ω={BW，BR，WB，WR，RB，RW}，其中黑球记为B，白球记为W，红球记为R．2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样

3、本空间Ω是什么？解：Ω={Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF}．3．设A,B,C为三事件，试表示下列事件：（1）A,B,C都发生或都不发生；（2）A,B,C中不多于一个发生；（3）A,B,C中不多于两个发生；（4）A,B,C中至少有两个发生．解：（1）ABCUABC；（2）ABCUABCUABCUABC；（3）ABC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC；（4）ABCUABCUABCUABC．4．指出下列事件等式成立的条件：（1）A∪B=A；（2）AB=A．解：（1）当A⊃B时，A

4、∪B=A；（2）当A⊂B时，AB=A．5．设X为随机变量，其样本空间为Ω={0≤X≤2}，记事件A={0.5

5、的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A=“X=1”，B=“X>2”，C=“X=0”，D=“X=4”．解：A={(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)}，B={(1,1,1)}，C={(0,0,0)}，D=∅．7．试问下列命题是否成立？（1）A−(B−C)=(A−B)∪C；（2）若AB=∅且C⊂A，则BC=∅；（3）(A∪B)−B=A；（4）(A−B)∪B=A．解：（1）不成立，A−(B−C)=A−BC=ABC=A(BUC)=ABUAC=(A−B)UAC≠(A−B)UC；ΩΩBBAACCA−(B−C)

6、(A−B)∪C（2）成立，因C⊂A，有BC⊂AB=∅，故BC=∅；（3）不成立，因(AUB)−B=(AUB)B=ABUBB=AB=A−B≠A；（4）不成立，因(A−B)UB=ABUB=(AUB)(BUB)=AUB≠A．8．若事件ABC=∅，是否一定有AB=∅？解：不能得出此结论，如当C=∅时，无论AB为任何事件，都有ABC=∅．9．请叙述下列事件的对立事件：（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B=“射击三次，皆命中目标”；（3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）A=“掷两枚硬币，至少有一个

7、反面”；（2）B=“射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）C=“加工四个零件，皆为不合格品”．10．证明下列事件的运算公式：（1）A=ABUAB；（2）AUB=AUAB．2证：（1）ABUAB=A(BUB)=AΩ=A；（2）AUAB=(AUA)(AUB)=Ω(AUB)=AUB．11．设F为一事件域，若An∈F，n=1,2,…，试证：（1）∅∈F；n（2）有限并UAi∈F，n≥1；i=1n（3）有限交IAi∈F，n≥1；i=1+∞（4）可列交IAi∈F；i=1（5）差运算A1−A2∈F．证：（1）由事件域定义

8、条件1，知Ω∈F，再由定义条件2，可得∅=Ω∈F；n∞（2）在定义条件3中，取An+1=An+2=…=∅，可得UAi=UAi∈F；i=1i=1n（3）由定义条件2，知A1,A2,L,An∈F，根据（2）小题结论，可得UAi∈F，i=1nn再由定义条件2，知UAi∈F，即IAi∈F；i=1i=1∞（4）由定义条件2，知A1,A2,L,An,L∈F，根据定义条件3，可得UAi∈F，i=1∞