数列中公共项问题的研究.doc

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1、专题：数列中公共项问题的研究一、问题提出问题1：（1）两个集合和都各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合中元素的最大值是多少？（2）若将中元素按从小到大的顺序排列成数列，试求数列的通项公式.问题2：若数列的通项公式为，数列的通项公式为．设集合，．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．对任意，，∴，∴∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则∴，即，又是一个以为公差等差数列，∴，∴，∴．二、思考探究探究1：已知数列{}的通项公式为，数列{}的通项公式为．若将数列{}，{}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}，（1）求的值；961（2）求数列的

2、通项公式.解：设，考察模7的余数问题；若时经验证可得：当时，存在满足条件的存在故{}中的项目依次为：可求得数列{}的通项公式为：探究2：已知数列和的通项公式分别为，.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为.（1）试写出，，，的值，并由此归纳数列的通项公式；（2）证明你在（1）所猜想的结论.解：（1），，，，由此归纳：.（2）由，得，，由二项式定理得，当为奇数时，有整数解，.类型：（1）两个等差数列取交集数列问题（方法：公式法）隔三差五问题（2）一个等差数列和一个指数数列取交集数列问题（方法：余数分析法）（3）一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题（方法：二项式定理

3、）探究3：已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别是xn＝an和yn＝(a＋1)n＋b(n∈N)．（1）当a＝3，b＝5时，①试问x2，x4分别是数列{yn}中的第几项？②记cn＝x，若ck是数列{yn}中的第m项(k，m∈N)，试问ck＋1是数列{yn}中的第几项？请说明理由；（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{zn}；若不存在，说明理由．解(1)由条件可得xn＝3n，yn＝4n＋5.①令x2＝9＝ym＝4m＋5，得m＝1，故x2是数列{yn}中的第1项．令x4＝81＝yk＝4k＋5，

4、得k＝19，故x4是数列{yn}中的第19项．(2分)②由题意知，cn＝32n，由ck为数列{yn}中的第m项，则有32k＝4m＋5，那么ck＋1＝32(k＋1)＝9×32k＝9×(4m＋5)＝36m＋45＝4(9m＋10)＋5，因9m＋10∈N，所以ck＋1是数列{yn}中的第9m＋10项．(8分)(2)设在{1，2}上存在实数b使得数列{xn}和{yn}有公共项，即存在正整数s，t使as＝(a＋1)t＋b，∴t＝，因自然数a≥2，s，t为正整数，∴as－b能被a＋1整除．①当s＝1时，t＝＜∉N，②当s＝2n(n∈N)时，当b＝1时，＝＝－＝－[1＋(－a)＋(－a)2＋…＋(－

5、a)2n－1]＝(a－1)[1＋a2＋a4＋…＋a2n－2]∈N，即as－b能被a＋1整除．此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}；显然，当b＝2时，＝＝－∉N，即as－b不能被a＋1整除．③当s＝2n＋1(n∈N)时，t＝＝，由②知，a2n－1能被a＋1整除，若a＞2，则，故此时t∉N，若a＝2，当且仅当b＝a＝2时，a－b能被a＋1整除，此时t∈N，此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}．综上所述，a＝2时，存在b=1或b=2，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，且当b＝1时，数列zn＝4n(n∈N)；当b＝2时，zn＝22n＋1(n

6、∈N)；a＞2时，存在b=1，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，数列zn＝a2n(n∈N)．(16分)【抢分秘诀】1．求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性质，才能简化运算过程．2．数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解．探究4：设数列{an}的通项公式为，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－2．集合A＝{x∣x＝an，n∈N}，B＝{x∣

7、x＝bn，n∈N}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，则{cn}的通项公式为___________.解：因为，；所以，即当时，；当，当时，，当时，所以的通项公式是即：三、反思提升四、反馈检测1.已知数列，.（1）求证：数列为等比数列；（2）数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；（3）设，其中为常数，且，，求.解：⑴∵=，∴，∵∴为常数∴数列为等比数列⑵取数列的连续三项，∵，，∴，即，∴数列中不存在连续