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《等差数列的中项项问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、题根研究等差数列的中项与中值一、等差三数有中项一个等差数列至少有3项，否则它不能构成等差数列.若3个数a1、a2、a3成等差数列，则a2称作a1、a3的中项.若5个数a1、a2、a3、a4、a5成等差数列，则a3既是a2、a4的中项.同时，也是a1、a5的中项，如此等等.夹在数列的两项之间，并且与两项等距的项，称作给定两项的中项.【例1】判断等差数列a1、a2、a3、a4、a5、a6中能充当中项的数【解答】首项a1不能充当中项；a2是a1和a3的中项；a3是a1和a5、a2和a4的中项；a4是a2和a6、a3和a5的中项；a5是a4和a6的中项；未尾a6不能充当中项.【说
2、明】相邻两项无中项；中间间隔为偶数项的两项无中项.如例1中，a2、a3无中项，a1、a6无中项等等.二、等差中项的性质和判断若3个数ap、aq、ar（或等差数列中的某3项）成等差数列，则称中间的一项aq为前后两项ap和ar的等差中项.容易知道，aq为ap和ar等差中项的完全条件是：.它的图形解释为：以ap和ar为梯形的上、下底线，则aq是梯形的中位线.图1【例2】等差数列{an}的公差d为正数.设a1、a2是方程x2-a3x+a4=0的两根.求和S=a6+a8+a10+a12+a14.【解答】联立得d=a1=2故有S=5a10=100.【说明】若将例2中的求和问题改作求S
3、=a6+a9+a10+a11+a14，这里a6、a9、a10、a11、a14并不成等差数列，但其结果不变.其原因何在，留给读者思考.三、在里找中项4等差数列{an}前n项和公式的图形意义是：以a1，an分别为上、下底长，以n为高长的梯形面积公式.其中，为梯形中位线.图2（1）当n为奇数时，如n=2m-1.则a1,an间有中项：.亦即等差数列的中项.此时，Sn=S2m-1=(2m-1)am.（2）当n为偶数时，如n=2m.则a1,an间无中项，不是中项，亦即等差数列无中项.可称为数列的“中值”.此时，Sn=S2m=m(am+am+1).显然，“中项”是“中值”的特殊情况.当
4、数列的项数为奇数2n-1，则数列求和的梯形公式化为矩形公式：矩形的长是中项an，矩形的高是项数2n-1.即是等差数列前奇数项之和，等于项数与中项的积.【例3】（2004年福建卷）Sn为等差数列{an}前n项的和，若，求的值.【解答】题目所涉项数都是奇数，利用“矩形公式”可得S9=5a5、S5=5a3.故有（参考）【说明】解题的捷径表现在“绕过了通项公式”.四、中值数列如果{an}为等差数列，则由{an}中依次相邻两项的“中值”（n≥2）所形成的数列称作{an}的“中值数列”.如数列{2,4,6,8}是数列{1,3,5,7,9}的中值数列.易知中值数列{bn}=也是等差数列
5、.其首项为，其公差与{an}4的公差相等，即如果将数列{an}的中值数列{bn-1}依次插入{an}，则得到一个新的数列——中值插补数列等差数列的中值插补数列也是等差数列，且首项为a1，公差为d,项数是（与n的奇偶性无关的）奇数2n-1,另外，三个数列：（1）原数列{an}，（2）中值数列{bn}；（3）中值插补数列有公共的中值【例4】设等差数列{cn}={c1,c2,…，c2007}的首项c1=a,公差为d.求{cn}中奇数项和与偶数项和的差.【解答】数列{cn}的奇数项组成以a为首项，2d为公差的等差数列.由2n-1=2007得其项数为n=1004，中值为c1004.
6、其和S1004=1004c1004数列{cn}的偶数项组成以a+d为首项，2d为公差的等差数列{bn},项数为2007-1004=1003.中项仍为c1004其和T1003=1003c1004它们的差为S1004-T1003=1004c1004-1003c1004=c1004=a+1003d【说明】等差数列之和与它们中值数列之和的差正好是原等差数列的中值.五、中项求和深入到高考综合题【例5】（2007年湖北题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是A.2B.3C.4D.5【解答1】运用中值公式：=，可看出可见，当且
7、仅当n=1，2，3，5，11时，为正整数.【说明】本解实际上是一种特值法，特值是a1=26,b1=2,d1=7,d2=1.如果将它们同时乘以一个不为0的实数k，则为数列{an}和{bn}的一般情况.【解答2】运用中项定理，.4可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，为正整数.【说明】这里，分别将数列{an}、{bn}的项数设为奇数，是否代表问题的一般性？将an、bn分别视作数列{a2n-1}和{b2n-1}的中项，这里具备一般性，至于分别从它们出发构造出来的和数列A2n-1、B2n-1，自然也具备着一般性.4
