教案：从力做的功到向量的数量积.doc

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1、从力做的功到向量的数量积（教案）弋阳一中数学组叶宏一.教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（北师大版）§2.5从力做的功平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.本节的知识结构：二、学生学习情况分析本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般

2、方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。三.设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。四、教学目标6

3、1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。五、教材重点和难点重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用。难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。六.教学过程设计[情景1]1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些

4、运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。2、前面我们用给出物理模型、引入概念、推出性质及运算律的方式研究了，向量的加法，向量的数乘。今天我们要用同样的方式研究向量的另一种非常重要的运算。3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义［设计意图］：1.明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。[情景2]在物理学中，我们知道，一个物体受到了力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，我们就说这个力对物体做了功。（1）如果力的方向和物体的运

5、动方向相同，功等于什么？答：等于力的大小和位移大小的乘积（2）如果当力F的方向与物体运动的方向成θ角时，功等于什么？答：W=

6、F

7、

8、S

9、cosθ（3）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。62、明晰数量积的定义(1)向量的定义：已知两个非零向量与，把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即（其中是与的夹角）。（2）定义说明：①记法“”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（1）（与都是非零向量）；设置情景：若，则向量与至少有一个是零向量？

10、类比时，若或。而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用。（2）当向量与共线同向时，；当向量与共线反向时，。特别地或（与二次根式性质：进行类比）。这是求向量长度的又一重要方法。［设计意图］：1.认识向量的数量积的实际背景。2.使学生在形式上认识数量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。4、

11、学生讨论，并完成下表：θ的范围0°≤θ<90°θ=90°90°<θ≤180°的符号［设计意图］：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。5、研究数量积的几何意义（1）给出向量投影的概念：如图，我们把││cosθ（││cosθ）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=││cosθ6（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cosθ的乘积。［设计意图］：这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的

12、认识6、研究数量积的物理意义（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做