从力做的功到向量的数量积.

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1、§5从力做的功到向量的数量积FsW=

2、F

3、

4、s

5、cos如果物体在力F下产生位移S则可得力F所做的功注：的分类已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,∠AOB=θ(0≤θ≤180)叫作向量a与b的夹角.abOABθ两个非零向量的夹角的定义：OABOABAOB┓当θ=0时,a与b同向当θ=180时,a与b反向当θ=90时,a与b垂直，记作a⊥b我们规定零向量可与任一向量垂直.0·a=0１.正三角形ABC中，AB与BC的夹角是？如图，OA=a,OB=b,过点B作BB1⊥OA于B1则OB1=

6、b

7、cosθ

8、b

9、cosθ叫作

10、向量b在a方向上的射影射影的定义AOBB1abAOBB1abAB(B1)Oab注意：①射影也是一个数量，不是向量②当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0时射影为

11、b

12、；当=180时射影为

13、b

14、.Oθba定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把

15、a

16、

17、b

18、cosθ叫作向量a和b的数量积(或内积).记作a·ba·b=

19、a

20、

21、b

22、cosθ注:①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。③在实数中，若a0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中

23、，若a0，且a•b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。③当a与b同向时，a•b=

24、a

25、

26、b

27、；当a与b反向时，a•b=

28、a

29、

30、b

31、.特别的a•a=

32、a

33、2或④cos=⑤

34、ab

35、≤

36、a

37、

38、b

39、性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e•a=a•e=

40、a

41、cos②aba•b=0向量的数量积的几何意义：向量a与b的数量积等于a的长度

42、a

43、与b在a方向上射影

44、b

45、cosθ的乘积,或

46、b的长度

47、b

48、与a在b方向上射影

49、a

50、cosθ的乘积.Oθba向量的数量积的物理意义：如果力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.运算律：1．2．3．2.判断下列各题正确与否：1.若a=0，则对任一向量b，有a•b=0.2.若a0，则对任一非零向量b，有a•b0.3.若a0，a•b=0，则b=0.4.若a•b=0，则a、b至少有一个为零.5.若a0，a•b=a•c，则b=c.6.对任意向量a、b、c，有(a•b)•ca•(b•c).7.对任意向量a，有a2=

51、a

52、2.3-6例1已知

53、a

54、=3,

55、b

56、

57、=4,且a与b的夹角θ=150,求a·b变式：平面上三点ABC满足︱AB︱=2,︱BC︱=1,︱CA︱=，求AB﹒BC+BC﹒CA+CA﹒AB的值例2在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosCABCabc同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理.证明如图,设,则例3证明菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO证明菱形ABCD中,AB=AD即菱形的两条对角线互相垂直.a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)=

58、-2e1·e1-e1·e2+e2·e2=-所以23①例4已知单位向量e1,e2的夹角为60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1夹角.解由单位向量e1,e2的夹角为60,得e1·e2=由①②可得cosθ===a·b

59、a

60、·

61、b

62、33×2321又

63、a

64、2=

65、e1+e2

66、2=

67、e1

68、2+2e1·e2+

69、e2

70、2=3

71、b

72、2=

73、e2-2e1

74、2=4

75、e1

76、2-4e1·e2+

77、e2

78、2=3②所以

79、a

80、=

81、b

82、=又0<θ<π,所以θ=120公式变形对功W=

83、F

84、

85、s

86、cos结构分析抽象平面向量数量积的定义a·b=

87、a

88、

89、b

90、cos

91、特殊化五条重要性质数形结合几何意义小结（1）向量的数量积的定义（2）平面向量数量积的物理意义和几何意义小结（3）向量的数量积的性质（4）向量的数量积的运算律