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《高考数学 探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型,将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例1A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，JLOA丄OB,求证：(1)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；(2)直线AB经过一个定点。证明：(1)设A(兀
2、,y)、B(x2,y2),则昇=2內，y22=2px2o丁*>22=^pxl
3、-2px2=4p2x}x2=-4p2y}y2,=~4p2为定值，Xj%2=-y}y2=4p2也为定值。(2)y,—=(%+一yj=2pg一匕)，T舛H占，二―—=—P—--_-■乞一石+v2■I直线AB的方程为：j-y}=—x—y}=———兀————J1+>2>1+>2必+力>1+>2=3-(兀一2刃，・・・直线AB过定点(2p,0)o>1+>2例2已知抛物线方程为y=--x2+/i，点A、B及点P(2,4)都在抛物线上,直线PA与PB的倾斜角互补。(1)试证明直线AB的斜率为定值；(2)当直线AB
4、的纵截距为m(m>0)时，求APAB的面积的最大值。分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解析：(1)证明：把P(2,4)代入>，=一丄无2+”，得皑6。所以抛物线方程为：2y—4二k(x—2),消去y,得F+2也一4比一4=0。兀=-4—4=2忆2所以丿八2，因为PA和PB的倾角互补，所以九=_2宀4£+4kpB=_kpA=_k,用一k代k,得[勺J所以◎二如总[=—2k+4k+4xAXr-2k2-4k+4Sk小2k-2-(-2k-2)4k(2)设A
5、B的方程为y=2x+m(m>0),y=2x+m严-非+6消去y得:F+4x+2加一12=0,令厶二16—4(2m—12)>0,解得0VmV8,12x2-4+加
6、mcod二一祈一=丙所以，S_IAB
7、2=5[(xf+x2)2-4^x2]=5[42-4(2m-12)]=40(8-m)，点P到AB的距离丄
8、AB『•宀丄.40(8-m)—=2m2(8-m)445=8(^771)(8-m)<8-(
9、)3=
10、y,所以,ScPAB<-,当且仅当如=8",即心普时，等号成立，故2AB面积最大值为弩。二、最值问题解决
11、最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。22例3求椭圆乞+丄=1上的点P到直线L:x-2y-12=0的最大距离和最小1612距离。方法1:(求切点)设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x0,y0),由椭圆方程3尢2+4y2=48得此切线方程3如尢+4y（）y=48,'：k=纽=_!3兀（）+2y（）=0（1）,又3v+4>v=48（2）,解⑴⑵得切点的坐标为比（一2,3）P2（2,一3）。设点P到直线L的
12、距离为d,由点到直线的距离公式，得d,唤=4^5,方法2:（判别式法）设与L平行的椭圆的切线方程为x-2y+m=0,代入椭圆方程，消去x得16y2-12my+3m2-48=0,由△二（一12加）'一4x16x（3府一48）=0得nr=64,m=±8oI当m二8时，切线方程x-2y+8二0,此时y==3,切点为匕（一2,3）;2x16117当m二一8时，切线方程X—2y—8=0,此时y=—=-3,切点为P,（2,-3）设点P到直线L的距离为d,由点到直线的距离公式，得=4^/5,方法3:（参数法）设椭
13、圆上任意一点P（4cos6,2^3sin6）,它到直线L的九产4厉；当$诚壬-&）=1时，血产£厉。O□点评：方法1、方法2可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标，方法3利用椭圆的参数方程，建立目标函数，简洁明了，点B在直线y=l上且设B(a,1),点C在直线y二一1上且设C(b,-1),由于ZBAC=90°,A(0,3),所以kAI}=—9kAC=—ab8kAB•心c二=_1，ab=_8。abSABC=-AB^AC
14、二丄Jq2+4J，+16=丄J/，+16/+4戻+64二222-J128+16
15、(6z2+-^)>8,当且仅当竺，即a=±2,b=不4时AABC面积的2Vcrcr值最大为8o三、定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。例5设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC〃x轴，证明：直线AC经过原点。方法1:设直线方程为y=k(x-^),A(xp^),B(x2,y2),C(—,y2),.*小
