应用题在高考中的热点及趋势初探.doc

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1、应用题在咼考中的热点及趋势初探应用题是高考数学考查的重要内容，也是同学们失分较多的一种题型•高考应用题既考查同学们分析问题、解决问题的能力，又考查同学们对已学知识灵活运用的情况•所以在平时学习中，我们要注重分析应用题解决的办法，培养解题能力•其实，解决应用题的关键是深刻理解题意，学会文字语言向数学符号语言的翻译转化，找到数量关系，建立恰当的数学模型.应用题解题的一般步骤分为四步，即审题、建模、求解、评价.宙题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、分析、综合等•通过审题，抓住关键点，弄清问题的变换过程，找出主要关系.建模：在理解题意的

2、基础上，将题中的非数学语言转化为数学语言，建立数学模型，将文字语言转化为数学符号语言，建立数学关系式.求解：选用适当的数学知识和方法对数学模型进行分析、化归，使问题得到解决.评价：应用问题既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对解出的结果耍进行验证或评估.近年来高考数学应用题模型，主要有以下一些类型：函数模型、三角模型、数列模型等•本文就这几种常见模型进行剖析，给同学们以参考.一、函数模型函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的冃标函数，确定变量的限制条件，

3、运用函数知识和方法去解决.例1(2012年高考江苏卷17)如图，建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米•某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y二kx-120(l+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关•炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标&不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.分析：(1)求炮的最大射程即求y二kx-120(l+k2)x2(k>0)与x轴交点的横坐标，求

4、出后应用基本不等式求解.(2)求炮弹击屮目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.解析：在y=kx-120(l+k2)x2(k>0)中，令y=0,得kx-120(l+k2)x2二0,由实际意义和题设条件知x〉0,k>0,・・・x=20kl+k2二201k+kW10,当且仅当k=l时取等号.・••炮的最大射程是10千米.(2)・・・&〉0,・・・炮弹可以击中目标等价于存在k>0,使ka-120(l+k2)a2二3.2成立，即关丁k的方程a2k2-20ak+a2+64-0有正根.由A=400a2-4a2(a2+64)20得a

5、W6.・••当a不超过6千米时，炮弹可以击中冃标.点评：本题主要考查函数、方程和基本不等式等知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力.例2(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点p,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE二FB二x(cm)・(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积

6、V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.分析：(1)包装盒的侧面积就是四个全等的矩形的面积Z和，其长(即包装盒的底面边长)为2x,宽(即包装盒的高)为60-2x2,这样包装盒的侧面积S就用x表示出来了，是关于x的一元二次函数(注：要根据x的实际意义求出其取值范围).(包装盒的体积Vp2h二22(-x3+30x2),只需求导就能解决问题.解析：设包装盒的高为h(cm),底面边长为3(cm),由已知得且二2x,h二60-2x2二2(30~x),0

7、+1800,所以当x二15时,S取得最大值・(2)V=a2h=22(-x3+30x2),V’=62x(20~x),由旷二0得X二0（舍）或X二20.当xe（0,20）时，W>0；当xe（20,30）时，V’<0.所以当x二20时，V取得极大值，也是最大值.此时h且二12,即包装盒的高与底面边长的比值为12.点评：本小题主要考查函数的概念与性质、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.二、三角函数模型三角函数是屮学数学的重要内容之一，三角函数与我们FI常生活和生产实践密切相关，常见问题有以下儿种

8、模式：在建筑学方面的应用，在测量方面的应用，在气象学中的应用，在天文学方而的应用.例3（2010年高考江苏卷17）某兴趣小组测量电视塔All的高度II（单位m）,如示意图，垂直放置的标杆BC高度h二4cm,仰角ZABE=a,ZADE=