应用题在高考中的热点及趋势初探

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1、应用题在高考中的热点及趋势初探　　应用题是高考数学考查的重要内容，也是同学们失分较多的一种题型.高考应用题既考查同学们分析问题、解决问题的能力，又考查同学们对已学知识灵活运用的情况.所以在平时学习中，我们要注重分析应用题解决的办法，培养解题能力.其实，解决应用题的关键是深刻理解题意，学会文字语言向数学符号语言的翻译转化，找到数量关系，建立恰当的数学模型.　　应用题解题的一般步骤分为四步，即审题、建模、求解、评价.　　审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、分析、综合等.通过审题，抓住关键点，弄清

2、问题的变换过程，找出主要关系.　　建模：在理解题意的基础上，将题中的非数学语言转化为数学语言，建立数学模型，将文字语言转化为数学符号语言，建立数学关系式.　　求解：选用适当的数学知识和方法对数学模型进行分析、化归，使问题得到解决.　　评价：应用问题既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对解出的结果要进行验证或评估.　　近年来高考数学应用题模型，主要有以下一些类型：函数模型、三角模型、数列模型等.本文就这几种常见模型进行剖析，给同学们以参考.　　一、函数模型　　函数是中学数学中最重要的一部分内容

3、，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.　　例1（2012年高考江苏卷17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1+k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.　　（1）求炮的最大射程；　　（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千

4、米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.　　分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx-120（1+k2）x2（k>0）与x轴交点的横坐标，求出后应用基本不等式求解.　　（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.　　解析：在y=kx-120（1+k2）x2（k>0）中，令y=0，得kx-120（1+k2）x2=0，　　由实际意义和题设条件知x>0，k>0，　　∴x=20k1+k2=201k+k≤10，当且仅当k=1时取等号.　　∴炮的最大射程是10千米

5、.　　（2）∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka-120（1+k2）a2=3.2成立，　　即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根.　　由Δ=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6.　　∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.　　点评：本题主要考查函数、方程和基本不等式等知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力.　　例2（2011年高考江苏卷17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，

6、再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）.　　（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？　　（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.　　分析：（1）包装盒的侧面积就是四个全等的矩形的面积之和，其长（即包装盒的底面边长）为2x，宽（即包装盒的高）为60-2x2，这样包装盒的侧面积S就用x表示出来了，

7、是关于x的一元二次函数（注：要根据x的实际意义求出其取值范围）.　　（包装盒的体积V=a2h=22（-x3+30x2），只需求导就能解决问题.　　解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得　　a=2x，h=60-2x2=2（30-x），0

8、V′>0；当x∈（20，30）时，V′<0.　　所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值.　　此时ha=12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.　　点评：本小题主要考查函数的概念与性质、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力.　　二、三角函数模型　　三角函数是中学数学的重要内容之一，三角函数与我们日常生活和生产实践密切相关，常见问题有以下几种模式：在建筑学方面的应用，在测量方面的应用，在气象学中的应用，在天文学方面的应用.　　例3（201