限时集训(二十二)　正弦定理和余弦定理.doc

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1、限时集训(二十二)　正弦定理和余弦定理(限时：60分钟　满分：110分)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝________.2．(2013·南通模拟)在△ABC中，已知a＝7，b＝4，c＝，则最小的内角为________．3．(2013·昆山期中)在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状为________．4．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是________．5．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝

2、3，则AC＝________.6．在△ABC中，已知a＝18，b＝20，A＝150°，这个三角形解的情况是________．7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于________．8．(2012·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.9．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为________．10．(2013·无锡模拟)已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．二、

3、解答题(本大题共4小题，共60分)11．(满分14分)(2013·苏州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，求A的值；(2)若c＝10，A＝45°，C＝30°，求b的值．12．(满分14分)(2011·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin＝2cosA，求A的值；(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．13.(满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC中，已知·＝3·.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝，求A的值．14．(满分1

4、6分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c.(1)求的值；(2)求tan(A－B)的最大值，并判断当tan(A－B)取得最大值时△ABC的形状．答案[限时集训(二十二)]1．解析：由＝得，b＝＝＝5.答案：52．解析：大边对大角，小边对小角，所以边c所对的角最小，cosC＝＝，又因为C∈(0，π)，所以最小角C＝30°.答案：30°3．解析：由正弦定理及余弦定理，得＝，cosC＝，所以＝2·，整理得b2＝c2，因为b＞0，c＞0，所以b＝c.因此，△ABC为等腰三角形．答案：等腰三角形4．解析：依题意c＝1，

5、a＝2，由正弦定理知＝，即sinC＝sinA＝sinA≤，解得0＜C≤或，≤C＜π，又c＜a，所以C＜A，故0＜C≤.答案：0＜C≤5．解析：由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.答案：26．解析：∵b＞a，∴B＞A，而A＝150°，B为钝角不可能，∴无解．答案：无解7．解析：由余弦定理得：()2＝22＋AB2－2×2AB·cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin60°＝.答案：8．解析：由题意知sinA＝，sinB＝，则sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以c＝＝.答案：9．解析

6、：延长AD到M，使得DM＝AD，连结BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos30°，解得AM＝，所以AD＝.答案：10．解析：法一：如图，设△ABC的外接圆为圆O，其直径2R＝＝＝4.取AC的中点M，则OM＝Rcos45°＝2，则AC＝4.过点B作BH⊥AC于H，要使△ABC的面积最大，当且仅当BH最大．而BH≤BO＋OM，所以BH≤R＋R＝2＋2，所以(S△ABC)max＝AC·BHmax＝×4×(2＋2)＝4＋4，即当且仅当BA

7、＝BC时取等号．法二：如图，同上易知，△ABC的外接圆的直径2R＝4.S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝2R2sin∠BAC·sin∠ABC·sin∠ACB＝8sin∠BACsin∠ACB＝4.当A＝C＝67.5°时，(S△ABC)max＝4＋4.答案：4＋411．解：(1)由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得cosA＝.由于0

8、＝5(＋)．12．解：(1)由题知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从