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1、构造函数法在不等式证明中运用不等式的证明历来是高屮数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过i些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。一、构造函数利用判别式证明不等式①构造函数正用判别式证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式屮，若使用其它方法不能解决，可将边整理为零，而另一•边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一•般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二
2、次方程的，都可考虑使用判别式,但使用吋要注意根的取值范围和题H本身条件的限制。例1.设：a、b、cGR,证明：a~+ac+c~4-3b(a+b+c)>0成立，并指岀等号何时成立。解析:令/(tz)=6Z2+(3b+c)a+c2+3ft2+3bc/=(3b+cF-4(c2+3b2+3bc)=—3(b+c)2•・・b、cER,・・./W0即：f(a)>0,・a24-ac+c2+3b(a+b+c)>0恒成立。当/=0吋，b+c=O,此时，f(a)=a2+ac+c2+3ab={a-cY=0,a=-b=不等式取等号。例2.己知：d,/?,cw/?且a+/?+c
3、=2,/+/?'+c，=2,求证：a.b.cg0,—。_3_解析：『"丁十消去c得：/+(力-2)°+戸-2“+1=0,此方程恒成立,[a~+/r+c2=2・・・/=(〃一2尸一4(沪一2方+1)=—3沪+4bn0,即：00,得/W0,就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。例3.设a,b,c,dg/?*
4、且a+b+c+d=I,求证：J4o+1+j4/?+1+J4c+1+J4d+1<6。解析：构造函数：f(x)=(J4a+lx-l)2+(J4b+lx-1)2+(J4c+lx-l)2+(』4d+lx-l)2=8x2-2(j4a+l+J4b+1+J4c+1+J4d+1)jc+4.(0a+b+c+d=l)由/(x)>0,得/WO,即/=4(如+1+J4Z?+1+J4c+1+J4d+1)$—128<0.•IJ4a+1+j4/?+1+J4c+1+J4d+1<4近<6.例4.i49设a,b,c,deR+Ka+b+c=,求一+—+-的最小值。abc解析:构造函数f(
5、x)=(-=x-4a)2+y/ax—y[b)2+(-^x—y[c)2Qc例5.I49=(-+-+-)x2-12x+h^)cz+Z?+c=l)abc由/(x)>0(当且仅当a=-,b=-,c=-时取等号),63214Q得/W0,即/=144-4(-+-+-)W0abc•:当a=£,〃=2疋=*11寸，(^-+^+
6、)min=36构造函数利用函数有界性证明不等式设问<1,0
7、<1，-1.解析:令/(x)=+c)x+be+1为一次函数。由于/(l)=(l+b)(l+c)>0,且/(x)=(l-/?)(l-c)>0,・・・/⑴在兀
8、w(—1,1)时恒有/⑴>0.又Vae(-1,1),・*.f(a)>0,即：ab+bc+ac+1>0评注：考虑式屮所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为/(d)>-1O三、构造函数利用单调性证明不等式例6.设a,bwF,求证：丄+丄>Z_1+a1+Z?+a+b解析：设/(x)=-^-=i-一,当兀>on寸，/⑴是增函数,1+X1+Xaba+b+2ab1=：1+a1+b(l+a)(l+b)a+b+ab(l+d)(l+b)a+b+ab+a+b+ah而a.bgR+,a+h+ab>a+h,f(a+b+ab)>f(a+b)故有:例7.解析:丄亠1+
9、ciI+b+ci+b求证：当无>011寸，x>ln(l+a)q令/(x)=x-ln(x+1)，*-•x>0,fx)=1!—=天>0.兀+1x+1又•・•/(兀)在x=O处连续，・•・/⑴在[0,+对上是增函数，从而，当x>0吋，/(x)=x-ln(l+x)>/(0)=0,即：x>ln(l+x)成立。评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。四、构造函数利用奇偶性证明不等式例&求证：—^―<-(x^O)o1-2V2解析：设心=占-評H0)'/(-x)=jf^7+^=^7q-+f=—-—[1-(1
10、-2V)]+-=X4--=/(X).所以/(兀)是偶函数，其图象关于y轴对称。当兀>0吋，1-
