构造辅助函数在不等式证明中的应用

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1、构造辅助函数在不等式证明中的应用【摘要】构造法是高等数学中常用的分析技巧，尤其在不等式的证明中起到很重要的作用，本文通过分析，并且应用实例来说明构造辅助函数在不等式证明中的应用.【关键词】辅助函数；不等式；单调性；中值定理；凹凸性；泰勒公式不等式的证明没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多样，技巧性强，综合性高，其中通过适当的构造辅助函数来证明不等式，可以达到事半功倍的效果.现举例如下：一、利用单调性证明f(X)〉g(X)要证：在(a，b)内，有f(x)〉g(x)，需要设辅助函数F(x)=f(x)_g(x).例1设xE(0，1)，证明(1+x)ln

2、2(1+x)g(x)作辅助函数F(x)=f(x)_g(x)，具有F(a)=F(b)=0与F〃(x)0，即f(x)〉g(x).例2求证：当Oxji.证明令f(x)=sinx2—xn，则f(0)=f(冗)=0，f'(x)=12cosx2—l，f〃(x)=-14sinx2,所以f〃(x)0.因此sinx2〉xjt.三、用拉格朗日定理证明不等式要证明同一个函数在两个不同点的函数值满足的不等式，用拉格朗日定理.例3设e4e2(b-a).证明F(x)=ln2x在a，b使用拉格朗日中值定理，存在4e(a，b)，使得f’(4(b)—f(a)b—a，即21n44=l

3、n2b-ln2ab-a.要证21nS4>4e2,利用单调性.令(t):21ntt，4)’(t)二2_21ntt2二21-lntt24)(e2)=21ne2e2=4e2,即4)U)〉4e2，21n€4〉4e2，因此ln2b-ln2ab-a〉4e2,于是In2b-ln2a>4e2(b-a).四、利用最值证明不等式要证明在区间a，b上f(x)〉g(x),只要构造函数F(x)=f(x)-g(x)证明在区间a，b上的最小值F(xO)^0.例4设f"(x)〉0，求证：f(a+h)+f(a-h)》2f(a)•证明设函数F(h)=f(a+h)+f(a~h),则F'

4、(h)二f'(a+h)-fz(a-h)，F〃(h)二f〃(a+h)+f"(a-h).令F'(h)=0，得h=0•因f"(x)〉0，则F〃(h)>0.所以Fh向上凸，又因h=0是函数Fh的唯一驻点，也是函数Fh的最小值点，又F(0)二2f(a)，所以F(h)彡F(0)，即f(a+h)+f(a_h)^2f(a).五、用泰勒公式证明不等式当题目涉及函数的二阶以上的导数并给出了同一点的函数值，一阶至二阶导数值时，可用泰勒公式证明有关不等式.例5设函数f(x)在区间(a，b)内二阶可导，如果f"(x)12f(xl)+f(x2).(如果f"(x)>0，则fxl

5、+x2212f(xl)+f(x2).以上总结了高等数学中构造辅助函数证明不等式常用的几种方法，当然，不等式的题目种类繁多，变化多端，大家在遇到题目的时候，还需要根据具体问题进行具体的分析，按照题目本身的特点来选择，尝试找出最适合最简单的解决方法.【参考文献】[1]黄先开，曹显兵.数学真题题型解析(数学二)[M].中国人民大学出版社，2011：72-75.[2]同济大学应用数学系.高等数学(上册•5版)[M].北京高等教育出版社，2002.