构造证明法在大学数学教学中的运用

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1、大学数学教学中对学生创新能力的培养李建林（甘肃农业大学基础科学系,兰州730070）摘要：在具体的数学教学过程中,索质教育就是对学生数学能力的培养和提高。通过对两个具体命题证明的分析,说明构造证明法对学生独立思考、发现和解决问题能力，尤其是创新能力的培养将会起到很重要的作丿U。关键词：数学教学素质教疗创新能力构造证明法分类号：从1995年开始，高等教育教学改革启动，其屮最重要的一点是教育方向的转变，即市应试教冇向素质教冇转变。实践证明，加强人学生文化素质教冇，对于推动教冇思想和观念的改苹，推动高等教育人才培养模式的改革，对于高等学校培养适应21世纪需要的高质虽、高索质的人才，具有重要的意

2、义⑴。我们强调的加强文化素质教育，主要是通过对学生加强文学、历史、哲学、艺术等人文社会科学和自然科学方面的教育，以提高全体大学牛的文化品位、审美情趣、人文素养和科学索质。那么，作为-•名高校数学教师，如何在日常的教学过程屮对学生加强索质教育呢？我认为,在具体的数学教学过程中，素质教冇就是对学生数学能力的培养和提高；而在众多数学能力屮，创新能力对学生以后的发展将起到尤为璽要的作用。所以，在教学过程中对学生加强创新能力的培养以及营造培养创新能力的环境是我们每一名高校数学教师的义务和责任。1传统的教学方式的弊端传统的教学中，学主主要以接受为主的学习方式來获取知识。在这种方式下，所学的知识往往以

3、定论的形式呈现给学生，无需学生去探索、去追求、去发现，较少要学生用自己的思维去克服障碍。相反，这里需要的是理解、记忆、巩固和再现。它束缚了学生思维的发展，冇碍于能力的培养，尤其是创新能力的培养。从而无法培养起学生探究问题的态度、行为和方法。逐渐的，学生便会形成一•种固定的思维模式，而这种思维模式的影响正是我国近代科技发展迟缓的重要原因之一。2构造证明法的优点所谓构造证明法就是在证明某个问题时，利用已经学过的知识凑出一个新的函数、新的等式或者一个新的命题等，它对解决原冇问题可以起到关键的作用。利用这种方法证明某个问题，具冇简洁易懂，说服力强的特点。在现有的大学数学教材（主耍是微积分和线性代

4、数部分）中，利用这种方法证明的定理、重要结论和习题很多，但缺点在于教材中只是将所构造出的函数等全盘端出，对于如何才能产牛构造辅助函数的想法以及如何去构造论述较少。而这恰恰是学牛所缺乏和感兴趣的，也正是培养学生创新能力，即独立思考、发现问题和解决问题的最佳时机。3构造证明法证明举例3.1拉格朗日中值定理的证明它是大学数学微积分部分很重要的一个定理［2】，证明的关键就是构造一个辅助函数。那么，为何要引入辅助两数，如何构造这个辅助断数应该是教师讲授的重点。1.比较罗尔定理与拉格朗LI定理的异同容易发现：拉格朗日定理只比罗尔定理少了一个条件=而结论由广忆）=0变成了广（歹）=•〃）-•/（。）。

5、所以我们会很白然的想到：利用罗尔定理来证明拉格朗定理⑶。b-a1.构造辅助函数0(兀)(1)辅助函数0(兀)应具有的性质：耍利用罗尔定理来证明拉格朗日定理，所以0(兀)应满足在［a,Z?］上连续,在(a,b)内可导,且©(a)=©(b)。(2)须证广©=/⑹一/⑺),而/(b)_/(a)是连接两点(aj(a)),0J(b))间割线的b-ab-a斜率。所以辅助函数0(兀)可能与此割线有关；过两点(dj(d)),0J(b))割线的方程为：g⑴=/(?_/◎(兀_°)+他)；而在(a,/(a)),(bj'(b))处，/(Q与g(Q的函数值相等,b-a如果令(p(x)=f(x)-g(x)f则0(

6、兀)满足在闭区间［a，M上连续,在开区间(a上)内可导,且(p(a)=(p(b)=0o2.验证结果0(幻满足罗尔定理的条件，那么至少存在一点使得0(歹)=0。而0⑴=广(兀)_/的—"'),所以由=0可推出y©)=ws。这样就使拉格朗b-ab-a日定理得到证明。3.2线性代数中一命题的证明1.命题的叙述命题：对于任意的一个斤阶矩阵A,设八是矩阵A的伴随矩阵，则有nR(A)=/i时/?(A*)=h/?(A)=/?-lR寸0/?(A)

7、证明/?(A*)=1有一定的困难。但我们知道：(1)可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积；而初等变换不改变矩阵的秩。(2)A的伴随矩阵八具有这样的性质：AA*=AE.所以,如果我们利用伴随矩阵八的性质,能够证明R(A*Q)=1,其中Q为可逆矩阵,那么命题也就得到证明了。3.构造辅助矩阵Q由已知条件/?(A)=/i-l,可以得到：A中至少存在一个八・1阶子式不为零。不失-•般性，设a22…a2n(1)M

8、]=::0an2…%由已知条件