高等代数课件(北大版)第二章 行列式§2.8.ppt

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1、§4n级行列式的性质§8Laplace定理行列式乘法法则§3n级行列式§2排列§1引言§5行列式的计算§7Cramer法则§6行列式按行(列)展开第二章行列式7/23/2021数学与计算科学学院一、k级子式　余子式　代数余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理§2.8拉普拉斯定理行列式乘法法则三、行列式乘法法则7/23/2021数学与计算科学学院一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列()，位于这些行和列的交叉点上的个元素式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后式，称

2、为k级子式M的余子式；余下的元素按照原来的次序组成的　　级行列7/23/2021数学与计算科学学院若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是，则在M的余子式前后称之为M的代数加上符号余子式，记为.注：①k级子式不是唯一的.（任一n级行列式有个k级子式）．时，D本身为一个n级子式．②时，D中每个元素都是一个1级子式；7/23/2021数学与计算科学学院二、拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致．7/23/2021数学与计算科学学院Laplace定理由这k

3、行元素所组成的一切k级子式与它们的设在行列式D中任意取k()行，代数余子式的乘积和等于D．即若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式则.，它们对应的代数余子式分别为为7/23/2021数学与计算科学学院②①时，即为行列式D按某行展开；注：为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果．7/23/2021数学与计算科学学院例1：计算行列式解：它们的代数余子式为7/23/2021数学与计算科学学院,,,,,.∴7/23/2021数学与计算科学学院三、行列式乘法法则设有两个n级行列式其中则7/23/2021数学与计算科学学院证：作一个2n级的行列式

4、由拉普拉斯定理7/23/2021数学与计算科学学院又对D作初等行变换：可得这里7/23/2021数学与计算科学学院从而7/23/2021数学与计算科学学院例2：证明齐次性方程组只有零解．其中不全为0．7/23/2021数学与计算科学学院证：系数行列式7/23/2021数学与计算科学学院由不全为0，有即，故方程组只有零解．7/23/2021数学与计算科学学院