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1、第八章圆锥曲线方程直线与圆锥曲线的位置关系第讲（第一课时）考点搜索●直线与圆锥曲线公共点的个数的判定●弦长公式，中点弦、焦点弦●直线与圆锥曲线的方程及其几何性质高考猜想1.通过直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的方程.2.根据直线与圆锥曲线的位置关系研究有关性质.1.设直线l的方程为:Ax+By+C=0，圆锥曲线方程为f(x，y)=0.由消去x(或y).如消去y后得ax2+bx+c=0(注意：若f(x,y)=0表示椭圆，则方程中a≠0)，为此有：(1)若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线____________;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对
2、称轴____________.平行或重合平行或重合(2)若a≠0，Δ=b2-4ac.当Δ>0时，直线与圆锥曲线_______;当Δ=0时，直线与圆锥曲线_______;当Δ<0时，直线与圆锥曲线_______.2.直线与双曲线(或抛物线)有且只有一个公共点，是直线与双曲线(或抛物线)相切的____________条件；直线与椭圆有且只有一个公共点，是直线与椭圆相切的______条件.3.设直线与圆锥曲线相交于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则相交相切相离必要非充分充要(1)
3、P1P2
4、=⑧___________________.(2)当直线方程写成y=kx
5、+b(k∈R)形式时,其弦长用x1、x2表示为:
6、P1P2
7、=___________;用y1、y2表示为：
8、P1P2
9、=_____________.(3)若弦过焦点，可用____________来表示弦长，简化运算.焦半径之和4.设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，点M(x0，y0)为弦AB的中点，直线l的斜率为k，则当曲线C为椭圆(a>b>0)时,k=________;当曲线C为双曲线(a>0，b>0)时，k=________;当曲线C为抛物线y2=2px(p≠0)时，k=____.1.已知双曲线C：过点P(1，1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述
10、条件的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条解：数形结合法，与渐近线平行、与抛物线相切，选D.D2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是()A.(0，1)B.(0，5)C.［1，5)∪(5，+∞)D.［1，5)解：直线y-kx-1=0恒过点(0，1)，仅当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以≤1且m＞0，m≠5得m≥1且m≠5.故选C.C3.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知
11、AB
12、=8,O为坐标原点,则△OAB的重心的横坐标为___.解：由题意知抛物线焦点为F(1，0).易知x
13、=1，不满足
14、AB
15、=8,所以设过焦点F(1，0)的直线为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线方程代入抛物线方程消去y，得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.2因为k2≠0，所以x1x2=1.因为所以k2=1.所以△OAB的重心的横坐标为1.已知直线l的一个方向向量为(1，tanα)，且过点(-，0)，l交椭圆x2+9y2=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且
16、AB
17、的长不小于短轴的长，求α的取值范围.解：依题意l的方程为y=tanα(x+).题型1圆锥曲线的弦长问题将l的方程与椭圆的方程联立，消去y，得则所以由
18、AB
19、≥2，得所以
20、所以α的取值范围是点评：求解关于弦长问题的主要步骤是：联立方程组，消去一个未知数，得到一元二次方程，然后由韦达定理将弦长转化为方程系数的式子，便获得所求问题的解.本题由于l的方程由tanα给出，所以可以认定α≠，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=时的情况.设直线l过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点.若求
21、AB
22、的值.解：不妨设直线AB过右焦点F(2，0)，其斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-2).代入双曲线方程，得3x2-k2(x-2)2=3，即(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则从而y1y2=
23、k2(x1-2)(x2-2)=k2［x1x2-2(x1+x2)+4］=因为即x1x2+y1y2=0，所以解得此时Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)>0.又当AB⊥x轴时,点A(2,3),B(2,-3)不满足条件，所以所以2.已知定点F(1,0),过F作抛物线E：y2=4x的两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为G、H.求证：直线GH必过定点Q(3，0).证明：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)，H(xH，yH)，直线AB的方程为y=k(x-1)，①则②.由①-②，得yA+yB=，即yG=.题型2圆锥曲线的中点
