考研数学 D7考研基础班.ppt

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1、第七章一、向量代数二、空间曲面与曲线空间解析几何与向量代数三、空间的平面与直线1.直角坐标系与向量的坐标向径(1)点M有序数组也称为点M的坐标.(2)向量的坐标则一、向量代数距离公式：2.模3.向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征:5.投影定理设6.线性运算：设7.向量的数量积8.向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个向量）且符合右手规则//9.向量位置关系:点积的运算律：(1)交换律(2)结合律(3)分配律叉积的运算律：(2)分配律(3)结合律-----反交换律例1.已知向量的夹角且解：在顶点为三角形中,求AC

2、边上的高BD.解：三角形ABC的面积为例2.向量积的几何意义：即：向量积的模等于以为邻边的平行四边形的面积.而故有例3.解:注意：向量的运算与标量的运算是不一样的,不能随意的套用.思考：提示：二、空间曲面与曲线1.空间曲面三元方程球面柱面----二元方程如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,圆柱面，椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所柱面的定义：形成的曲面称为柱面.圆柱面抛物柱面平面练习：问方程表示什么曲面？zxyo抛物柱面(1)定义：以

3、一条平面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周这条定直线叫旋转曲面的轴．所生成的曲面称为旋转曲面.曲线叫旋转曲面的母线.yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程：yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面的方程为旋转曲面(2)方程：(3)圆锥面：方程的特点：叫标准圆锥面(如下图).三元二次齐次方程.是上半圆锥面.叫标准圆锥面.旋转抛物面oyzxxyozxyozozyx1)椭球面(p,q同号)2)椭圆抛物面zxyoxyzo常用的二次曲面及其方程或参数方程2.空间曲线三元方程组设空

4、间曲线消去z得投影柱面得C在xoy面上的投影曲线与xoy面方程联立★求投影曲线消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程例1.将下列曲线化为参数方程表示:解(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为oyzx例2.求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为所以此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的如:所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所

5、围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围区域.消去z得投影柱面空间平面的方程1)一般式:2)点法式:3)截距式:1.空间直线与平面的方程三、空间的平面与直线平面(法向量是)一般式:对称式:参数式:空间直线的方程为直线的方向向量.为直线上一点;★面与面的关系平面平面2.线面之间的相互关系(3)夹角公式:两平面的位置关系相交平行斜交直交重合平行但不重合直线★线与线的关系直线(3)夹角公式:平面:★面与线间的关系直线:(1)L⊥(2)L//(3)夹角公式：线面的位置关系相交平行斜交直交线在面内平行但不重合且有公共点3.

6、相关的几个问题(1)平面束定义定理设平面由平面所确定的平面束的方程为：以上方程不包括平面平面确定的平面束.通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个(2)点的距离为到平面：Ax+By+Cz+D=0d练习：求点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离.（06研数一）到直线的距离为(3)点d（4）平面与各坐标平面的夹角，实际上是与各坐标轴的夹角.实际上是的法向量的三个方向角.例1.求直线与平面的交点.解:化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.经验：计算线与面，线与线的交点时，一般用直线的参

7、数式较简单.例2.研究以下两平面的位置关系：两平面平行所以两平面平行但不重合解:又如直线线在面上吗？例3.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.解:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量所以例4.求直线在平面上的投影直线方程.解：已知直线与已知平面的交点为：则过点P与已知平面垂直的直线方程为例4.求直线在平面上的投影直线方程.另解：过已知直线的平面束方程从中选择得投影平面：即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程这是已知平面这是投影平面(过L与垂直)例5.求过直线L:且与平面

8、夹成角的平面方程.解:过直线L的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程例6.直线绕z轴旋转一周,求此旋转曲面的方程.解:旋转轨迹上任一点,是L上一点绕轴转过来的，则M设，则得旋转曲面方程