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1、阶段质量检测(三)圆锥曲线与方程(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是( )A.(2,0) B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)解析:选B 抛物线焦点位于x轴负半轴上,为(-2,0).2.椭圆+=1的离心率是( )A. B.C.D.解析:选B 根据题意知,a=3,b=2,则c==,∴椭圆的离心率e==.3.以椭圆+=1的顶点为顶点
2、,离心率为2的双曲线的标准方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1或-=1D.以上都不对解析:选C 当顶点为(±4,0)时,对于双曲线,a=4,c=8,b=4,则双曲线的标准方程为-=1;当顶点为(0,±3)时,对于双曲线,a=3,c=6,b=3,则双曲线的标准方程为-=1.4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:选C ∵e2===1+=,∴=,∴=,则C的渐近线方程为y=±x.5.已知抛物线y2=2px(p
3、>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为( )A.B.1C.2D.4解析:选C 由题意知,圆的圆心为(3,0),半径为4;抛物线的准线为x=-.∴3-=4,∴p=2.6.已知
4、
5、=3,A,B分别在y轴和x轴上运动,O为坐标原点,=+,则动点P的轨迹方程是( )A.+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1解析:选A 设P(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由已知得(x,y)=(0,y0)+(x0,0),即x=x0,y=y0,所以x0=x,y0=3y.因为
6、
7、=3,所以
8、x+y=9,即2+(3y)2=9,化简整理得动点P的轨迹方程是+y2=1.7.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.C.D.解析:选C 由题意知,点M的轨迹为以焦距为直径的圆,则c
9、45°D.30°解析:选A 设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由已知,得A(a,0),B(0,b),F(-c,0),则=(-c,-b),=(a,-b).∵离心率e==,∴c=a,b===a,∴·=b2-ac=0,∴∠ABF=90°.9.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若
10、PO
11、=
12、PF
13、,则△PFO的面积为( )A.B.C.2D.3解析:选A 法一:双曲线-=1的右焦点F(,0),一条渐近线的方程为y=x,不妨设点P在第一象限,由于
14、PO
15、=
16、
17、PF
18、,得点P的横坐标为,纵坐标为×=,即△PFO的底边长为,高为,所以它的面积为××=.法二:不妨设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以
19、OF
20、=.又tan∠POF==,所以等腰三角形POF的高h=×=,所以S△PFO=××=.10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )A.+=1 B.+=1C.+=1D.+=1解析:选D 因为椭圆的离心率为,所以e==,c2=a2=a2-
21、b2,所以b2=a2,即a2=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为,所以四边形的面积为4×b×b=b2=16,所以b2=5,所以椭圆方程为+=1.11.(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若
22、PQ
23、=
24、OF
25、,则C的离心率为( )A.B.C.2D.解析:选A 设双曲线C:-=
26、1(a>0,b>0)的右焦点F的坐标为(c,0).由圆的对称性及条件
27、PQ
28、=
29、OF
30、可知,PQ是以OF为直径的圆的直径,且PQ⊥OF.设垂足为M,连接OP,如图,则
31、OP
32、=a,
33、OM
34、=
35、MP
36、=.由
37、OM
38、2+
39、MP
40、2=
41、OP
42、2,得2+2=a2,故=,即e=.12.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若
43、AF2
44、=2
45、F2B
46、,
47、AB
48、=
49、BF1
50、