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《巧用绝对值的几何意义解题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、巧用绝对值的几何意义解题绝对值是初中代数中的一个重要的概念，在求代数式的值，解绝对值方程与不等式时，通常会遇到分类讨论的问题。而绝对值的分类讨论恰恰是学生们最容易出错的地方。为了帮助学生们更好的掌握这一知识，有必要进一步探究绝对值的几何意义。我们知道，丨兀的几何意义是表示数轴上点兀到原点的距离.类似地可知，的几何意义是表示数轴上点兀到点d的距离.由此我们对此稍加推导可以得到两个非常有用的性质。（1）+>
2、^-/?
3、（也就是说它的最小值为d,b两点间的距离）通过一个数轴很好说明这个问题，rv丫1）当兀在d与b之间（包括a,〃）时（如点尤]）,此时尤
4、到d点与Z?点距离和恒为-聊2）当兀在d与一侧时（如点兀2，勺），值恒大于
5、。-"
6、（2）llx-■—x—h£ci—b1）当兀在g的左侧或x在b右侧（包括a,两点）时（如点兀2，兀3），值恒为a-切2）当兀在a,b之间时（如点尢]）,
7、
8、x-tz
9、-
10、x-/?
11、12、y-5-11+y13、,求x+y的最值。解：整理得：14、x+215、+16、x-l17、+18、y-519、+20、j+l21、=9（*）由性质（1）得：x+222、+x—23、24、>3（1）,25、y—5+1y+11>6（2）；26、而（*）成立，（1）（2）必须同时取到最小值，所以可的一2'<5；因此x+y的最大值为6,最小值为一3。例2已知y=卜一2卜丄卜27、+卜+228、,且—15x52，则y的最大值与最小值之差是多少2解:由绝对值的儿何意义知，函数y=[29、x-230、+31、x+232、]--*-33、x34、表示数轴上点兀到点2和点-2的2距离之和减去点%到原点距离的一半.因-l35、x36、确定，如图可知，当兀二0时,这时y有最大值，ymax=4,当尢=2时，丄卜37、=1,22这时y有最38、小值，jmin二3,所以y的最大值与最小值的差为1.例3求卜一139、+卜一240、+……+41、x-200442、+43、x-200544、的最小值。解:变形得：(x-145、+46、x-200547、)+(48、x-249、+1%-200450、)+-100251、+52、x-100453、)+54、x-100355、(*)（*）式要取最小值，则要找一个x满足每个括号内都能取到最小值；由性质（1）得：当1<%<2005时，第一个括号取到最小值，依次类推以后取到最值x的范围分别是：256、到最小值。当x=1003时,原式二（1002+1001+...+1）X2=10051006,所以最小值为10051006。注：通过此题对性质（1）可以再进行推广：x-a}+x-6（257、+++x-atl（®58、+x-5=3解：我们知道59、2-560、=3,根据性质1可得：261、+卜一562、=°此方程无解，°的取值范围，马上可以知道a<3若再改：x-63、2+x-5=5,根据性质（1）可知：x必在兀>5或兀v2这个范围内，如图,易得：X]=1,兀2=511——i——I111__Ix■101234567（三）绝对值不等式问题例5解不等式64、65、2x+566、-67、2x-568、69、<12解析：此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐，而稍加转化用性质（2）,则很容易解。<6在不等式的两边同除以2得：%+-2有性质2可知，此式恒小于等于}（一70、）“所以对不等式<6,则任意实数都成立。例6解不等式x+371、—x—372、73、>3解：利用性质（2）得：当x>y^Lx<-3时，卜+374、-卜一375、76、的值恒为6,此时77、78、x+379、-x-380、>3恒成立。当一381、=a,贝11x-382、=6-a；Xy—兀a6・a93所以原式u>83、2a-684、>3，易得：一vav6或（）-22例7解不等式卜+185、+卜一186、>卜87、+卜一2解：有绝对值的几何意义知，卜+188、+卜一189、>卜90、+卜一291、表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和大于点x到原点和点2的距离和.不妨设卜+192、+卜一193、=厶，94、x95、+96、x-297、=M?如图:利用性质（1）得：当05x51时，98、L=M=2；当兀在点0的左侧时（如点也），LM:所以不等式的解为：x<0通过上面的几个例
12、y-5-11+y
13、,求x+y的最值。解：整理得：
14、x+2
15、+
16、x-l
17、+
18、y-5
19、+
20、j+l
21、=9（*）由性质（1）得：x+2
22、+x—
23、
24、>3（1）,
25、y—5+1y+11>6（2）；
26、而（*）成立，（1）（2）必须同时取到最小值，所以可的一2'<5；因此x+y的最大值为6,最小值为一3。例2已知y=卜一2卜丄卜
27、+卜+2
28、,且—15x52，则y的最大值与最小值之差是多少2解:由绝对值的儿何意义知，函数y=[
29、x-2
30、+
31、x+2
32、]--*-
33、x
34、表示数轴上点兀到点2和点-2的2距离之和减去点%到原点距离的一半.因-l35、x36、确定，如图可知，当兀二0时,这时y有最大值，ymax=4,当尢=2时，丄卜37、=1,22这时y有最38、小值，jmin二3,所以y的最大值与最小值的差为1.例3求卜一139、+卜一240、+……+41、x-200442、+43、x-200544、的最小值。解:变形得：(x-145、+46、x-200547、)+(48、x-249、+1%-200450、)+-100251、+52、x-100453、)+54、x-100355、(*)（*）式要取最小值，则要找一个x满足每个括号内都能取到最小值；由性质（1）得：当1<%<2005时，第一个括号取到最小值，依次类推以后取到最值x的范围分别是：256、到最小值。当x=1003时,原式二（1002+1001+...+1）X2=10051006,所以最小值为10051006。注：通过此题对性质（1）可以再进行推广：x-a}+x-6（257、+++x-atl（®58、+x-5=3解：我们知道59、2-560、=3,根据性质1可得：261、+卜一562、=°此方程无解，°的取值范围，马上可以知道a<3若再改：x-63、2+x-5=5,根据性质（1）可知：x必在兀>5或兀v2这个范围内，如图,易得：X]=1,兀2=511——i——I111__Ix■101234567（三）绝对值不等式问题例5解不等式64、65、2x+566、-67、2x-568、69、<12解析：此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐，而稍加转化用性质（2）,则很容易解。<6在不等式的两边同除以2得：%+-2有性质2可知，此式恒小于等于}（一70、）“所以对不等式<6,则任意实数都成立。例6解不等式x+371、—x—372、73、>3解：利用性质（2）得：当x>y^Lx<-3时，卜+374、-卜一375、76、的值恒为6,此时77、78、x+379、-x-380、>3恒成立。当一381、=a,贝11x-382、=6-a；Xy—兀a6・a93所以原式u>83、2a-684、>3，易得：一vav6或（）-22例7解不等式卜+185、+卜一186、>卜87、+卜一2解：有绝对值的几何意义知，卜+188、+卜一189、>卜90、+卜一291、表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和大于点x到原点和点2的距离和.不妨设卜+192、+卜一193、=厶，94、x95、+96、x-297、=M?如图:利用性质（1）得：当05x51时，98、L=M=2；当兀在点0的左侧时（如点也），LM:所以不等式的解为：x<0通过上面的几个例
35、x
36、确定，如图可知，当兀二0时,这时y有最大值，ymax=4,当尢=2时，丄卜
37、=1,22这时y有最
38、小值，jmin二3,所以y的最大值与最小值的差为1.例3求卜一1
39、+卜一2
40、+……+
41、x-2004
42、+
43、x-2005
44、的最小值。解:变形得：(x-1
45、+
46、x-2005
47、)+(
48、x-2
49、+1%-2004
50、)+-1002
51、+
52、x-1004
53、)+
54、x-1003
55、(*)（*）式要取最小值，则要找一个x满足每个括号内都能取到最小值；由性质（1）得：当1<%<2005时，第一个括号取到最小值，依次类推以后取到最值x的范围分别是：256、到最小值。当x=1003时,原式二（1002+1001+...+1）X2=10051006,所以最小值为10051006。注：通过此题对性质（1）可以再进行推广：x-a}+x-6（257、+++x-atl（®58、+x-5=3解：我们知道59、2-560、=3,根据性质1可得：261、+卜一562、=°此方程无解，°的取值范围，马上可以知道a<3若再改：x-63、2+x-5=5,根据性质（1）可知：x必在兀>5或兀v2这个范围内，如图,易得：X]=1,兀2=511——i——I111__Ix■101234567（三）绝对值不等式问题例5解不等式64、65、2x+566、-67、2x-568、69、<12解析：此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐，而稍加转化用性质（2）,则很容易解。<6在不等式的两边同除以2得：%+-2有性质2可知，此式恒小于等于}（一70、）“所以对不等式<6,则任意实数都成立。例6解不等式x+371、—x—372、73、>3解：利用性质（2）得：当x>y^Lx<-3时，卜+374、-卜一375、76、的值恒为6,此时77、78、x+379、-x-380、>3恒成立。当一381、=a,贝11x-382、=6-a；Xy—兀a6・a93所以原式u>83、2a-684、>3，易得：一vav6或（）-22例7解不等式卜+185、+卜一186、>卜87、+卜一2解：有绝对值的几何意义知，卜+188、+卜一189、>卜90、+卜一291、表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和大于点x到原点和点2的距离和.不妨设卜+192、+卜一193、=厶，94、x95、+96、x-297、=M?如图:利用性质（1）得：当05x51时，98、L=M=2；当兀在点0的左侧时（如点也），LM:所以不等式的解为：x<0通过上面的几个例
56、到最小值。当x=1003时,原式二（1002+1001+...+1）X2=10051006,所以最小值为10051006。注：通过此题对性质（1）可以再进行推广：x-a}+x-6（2
57、+++x-atl（®58、+x-5=3解：我们知道59、2-560、=3,根据性质1可得：261、+卜一562、=°此方程无解，°的取值范围，马上可以知道a<3若再改：x-63、2+x-5=5,根据性质（1）可知：x必在兀>5或兀v2这个范围内，如图,易得：X]=1,兀2=511——i——I111__Ix■101234567（三）绝对值不等式问题例5解不等式64、65、2x+566、-67、2x-568、69、<12解析：此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐，而稍加转化用性质（2）,则很容易解。<6在不等式的两边同除以2得：%+-2有性质2可知，此式恒小于等于}（一70、）“所以对不等式<6,则任意实数都成立。例6解不等式x+371、—x—372、73、>3解：利用性质（2）得：当x>y^Lx<-3时，卜+374、-卜一375、76、的值恒为6,此时77、78、x+379、-x-380、>3恒成立。当一381、=a,贝11x-382、=6-a；Xy—兀a6・a93所以原式u>83、2a-684、>3，易得：一vav6或（）-22例7解不等式卜+185、+卜一186、>卜87、+卜一2解：有绝对值的几何意义知，卜+188、+卜一189、>卜90、+卜一291、表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和大于点x到原点和点2的距离和.不妨设卜+192、+卜一193、=厶，94、x95、+96、x-297、=M?如图:利用性质（1）得：当05x51时，98、L=M=2；当兀在点0的左侧时（如点也），LM:所以不等式的解为：x<0通过上面的几个例
58、+x-5=3解：我们知道
59、2-5
60、=3,根据性质1可得：261、+卜一562、=°此方程无解，°的取值范围，马上可以知道a<3若再改：x-63、2+x-5=5,根据性质（1）可知：x必在兀>5或兀v2这个范围内，如图,易得：X]=1,兀2=511——i——I111__Ix■101234567（三）绝对值不等式问题例5解不等式64、65、2x+566、-67、2x-568、69、<12解析：此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐，而稍加转化用性质（2）,则很容易解。<6在不等式的两边同除以2得：%+-2有性质2可知，此式恒小于等于}（一70、）“所以对不等式<6,则任意实数都成立。例6解不等式x+371、—x—372、73、>3解：利用性质（2）得：当x>y^Lx<-3时，卜+374、-卜一375、76、的值恒为6,此时77、78、x+379、-x-380、>3恒成立。当一381、=a,贝11x-382、=6-a；Xy—兀a6・a93所以原式u>83、2a-684、>3，易得：一vav6或（）-22例7解不等式卜+185、+卜一186、>卜87、+卜一2解：有绝对值的几何意义知，卜+188、+卜一189、>卜90、+卜一291、表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和大于点x到原点和点2的距离和.不妨设卜+192、+卜一193、=厶，94、x95、+96、x-297、=M?如图:利用性质（1）得：当05x51时，98、L=M=2；当兀在点0的左侧时（如点也），LM:所以不等式的解为：x<0通过上面的几个例
61、+卜一5
62、=°此方程无解，°的取值范围，马上可以知道a<3若再改：x-
63、2+x-5=5,根据性质（1）可知：x必在兀>5或兀v2这个范围内，如图,易得：X]=1,兀2=511——i——I111__Ix■101234567（三）绝对值不等式问题例5解不等式
64、
65、2x+5
66、-
67、2x-5
68、
69、<12解析：此题如果用去绝对值分类讨论解将比较烦琐，而稍加转化用性质（2）,则很容易解。<6在不等式的两边同除以2得：%+-2有性质2可知，此式恒小于等于}（一
70、）“所以对不等式<6,则任意实数都成立。例6解不等式x+3
71、—x—3
72、
73、>3解：利用性质（2）得：当x>y^Lx<-3时，卜+3
74、-卜一3
75、
76、的值恒为6,此时
77、
78、x+3
79、-x-3
80、>3恒成立。当一381、=a,贝11x-382、=6-a；Xy—兀a6・a93所以原式u>83、2a-684、>3，易得：一vav6或（）-22例7解不等式卜+185、+卜一186、>卜87、+卜一2解：有绝对值的几何意义知，卜+188、+卜一189、>卜90、+卜一291、表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和大于点x到原点和点2的距离和.不妨设卜+192、+卜一193、=厶，94、x95、+96、x-297、=M?如图:利用性质（1）得：当05x51时，98、L=M=2；当兀在点0的左侧时（如点也），LM:所以不等式的解为：x<0通过上面的几个例
81、=a,贝11x-3
82、=6-a；Xy—兀a6・a93所以原式u>
83、2a-6
84、>3，易得：一vav6或（）-22例7解不等式卜+1
85、+卜一1
86、>卜
87、+卜一2解：有绝对值的几何意义知，卜+1
88、+卜一1
89、>卜
90、+卜一2
91、表示数轴上点x到点1和点-1的距离之和大于点x到原点和点2的距离和.不妨设卜+1
92、+卜一1
93、=厶，
94、x
95、+
96、x-2
97、=M?如图:利用性质（1）得：当05x51时，
98、L=M=2；当兀在点0的左侧时（如点也），LM:所以不等式的解为：x<0通过上面的几个例
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