几何与代数_lec9-矩阵的秩和初等阵.ppt

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1、指派问题的数学模型人员i能否完成工作j人员i只能完成一项工作工作j只能由一个人完成总的工作时间最少给n个工作人员x1,x2,…,xn安排n项工作y1,y2,…,yn.如果第i个工作人员完成第j项工作的时间为cij,求一个使总工作时间最少的工作分配方案.工作分配问题(指派问题)(AssignmentProblem)思考题：请写出线性方程组(1)(2)的系数矩阵，并用分块矩阵描述。一.秩的概念§2.4矩阵的秩三.矩阵的等价标准形注2.矩阵r(A)=rA中至少有一个r阶子式不等于0,而当k>r时,A的任一k阶子式都为0.A中非零子式的最高阶数,记为r(A).

2、注1.0r(Amn)min{m,n}初等变换命题r(A)=r(B).秩的求法：初等行变换(阶梯阵),则2.性质(1)反身性:AA.(2)对称性:ABBA.(3)传递性:AB,BCAC.矩阵间的相抵关系是一种等价关系.1.A与B相抵(或等价)记为AB.初等变换注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.3.通过初等行变换将矩阵化为与其等价的行最简形矩阵三.矩阵的等价标准形第二章矩阵§2.4矩阵的秩r22r1r34r1r43r1解:r3+2r2r4r2第二章矩阵§2.4矩阵的秩例1.用初等变换将A化为与其相抵的最简形矩阵r3/6r

3、1+r2r1+r3rref是初等行变换下的最简形初等变换下的最简形等价标准形r(A)=3初等行变换行阶梯形Amn行最简形等价标准形一般地,初等行变换初等列变换定理2.3.A,B为mn矩阵,则A,B相抵r(A)=r(B).证明:()因为初等变换不改变矩阵的秩.则A,由相抵的传递性可得AB.()设秩(A)=秩(B)=r.且B,ErOr(nr)O(mr)rO(mr)(nr)第二章矩阵§2.4矩阵的秩品名:矩阵规格:mn数量:产地:SEU小心轻放堆码层数向上怕湿防潮……………说明:内有无数mn矩阵,按秩的不同共分为min{m,

4、n}+1包.每包的代表为,其中r=0,1,2,,min{m,n}.第二章矩阵§2.4矩阵的秩相抵关系的不变量为秩,最简形为.从动物连连看谈动物的等价分类7品名:动物数量:“秩”：动物名称等价关系：“同类”问题的提出:如果对于单位矩阵E进行一次初等变换,它会变成什么样?如果矩阵A经过一次初等变换变为B,那么A与B间如何建立等量关系?“初等矩阵”P(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列ErirjP(i,j)EcicjP(i,j)(1)1.初等矩阵:一次初等变换P(i(k))=第i行1k11第i列1ErikP

5、(i(k))EcikP(i(k))(2)第二章矩阵§2.5初等矩阵1.初等矩阵:一次初等变换P(i,j(k))=第i行1……k11……第j行第i列第j列1Eri+krjP(i,j(k))Ecj+kciP(i,j(k))(3)第二章矩阵§2.5初等矩阵1.初等矩阵:一次初等变换010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001ax1by2cz3,=xa1yb2zc31k0010001abcxyz123,=a+kxb+kyc+kzxyz1231k0010001ax1by2cz3.=aak+x1bbk+y2cck+z31000100

6、0kabcxyz123,=abcxyzk2k3k10001000kax1by2cz3,=axkby2kcz3k对矩阵A进行一次初等行(列)变换相当于在A的左(右)边乘以相应的初等矩阵.第二章矩阵§2.5初等矩阵对一般情况我们有:总结:rirjrikri+krjcicjcikci+kcj第二章矩阵§2.5初等矩阵AB行存在初等阵P1P2…Ps使:P1P2…PsA=BAB列存在初等阵Q1Q2…Qt使:AQ1Q2…Qt=B存在初等阵P1P2…PsQ1Q2…Qt使:P1P2…PsAQ1Q2…Qt=BAB初等阵与初等变换的关系定理2.4一次初等行变换一次初

7、等列变换其中P为相应的初等阵.(左行右列)第二章矩阵§2.5初等矩阵例2.设，则定理2.4一次初等行变换一次初等列变换其中P为相应的初等阵.(左行右列)存在初等阵P1P2…PsQ1Q2…Qt使:P1P2…PsAQ1Q2…Qt=BAB第二章矩阵§2.5初等矩阵P(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列P(i,j)1=P(i,j)ErirjP(i,j)(1)第二章矩阵§2.5初等矩阵P(i(k))=第i行1k11第i列1(P(i(k)))1=P(i(1/k)))ErikP(i(k))(2)第二章矩阵§2.5初等

8、矩阵P(i,j(k))=第i行1……k11……第j行第i列第j列1A1CB