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时间:2020-03-05
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1、两圆公共弦所在直线方程与切线长相等四川省筠连县中学 邓 敬过圆和圆交点的圆系方程:(为参数,且). 当时,上式可化为过两圆公共弦所在直线方程: 【实质】:将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程. 下面介绍几个有关公共弦所在直线方程的重要结论,并举例运用,以加深学生对其该知识点的理解和掌握. 1.若两圆相交,则方程为它们公共弦所在直线方程. 【例1】:(新课标人教版A必修二,P133,习题4.2,A组9题)求圆与圆的公共弦长. 【解析】:设两圆交于两点,将两圆方程相减可得公共弦所在直线方程:.
2、 再由 再由弦长公式得:. 当然,此题解法很多,该解法重点体现两圆公共弦所在直线方程的应用,其他解法在这里就不再遨述. 同题型还有(新课标人教版A必修二,P144,复习参考题A组4题)求圆与圆的公共弦长. 此题解答可参照例1. 2.两圆外一动点P,向两相交圆所引切线长相等,则方程是P点的轨迹方程. 【例2-1】:圆与圆外一动点P,向两圆所引切线长相等,则动点P的轨迹方程为 【解析】:由切线长定理可知:所以P在两
3、圆的公共弦所在直线上. 即P点的轨迹为(P在两圆外). 【例2-2】:已知和,在平面上找一点P,过P点引两圆切线并使他们的长都等于. 【说明】:圆外一点,则向圆引切线长满足:. 【解析】:如图所示,P点是两圆公共弦所在直线与以(或)为圆心,以(或)为半径的圆的交点. ∴设,依题意可得:或∴P的坐标是或.【例2-3】:(新课标人教版A必修二,P144,复习参考题,A组6题),已知圆和圆关于直线对称,求直线方程. 【解析】:由题意可知两圆相交,对称轴是两圆的中垂
4、线.将两圆方程相减可得到其对称轴方程:. 3.一动点P,向两相外切的圆所引切线长相等,则方程是P点的轨迹方程. 【例3】:已知与相外切,两圆外一动点P,向两圆所引切线长相等,则P点的轨迹方程. 【解析】:如图所示,, ∴P点的轨迹方程仍为两圆方程之差,即为:. 4.一动点P,向两相外离的圆所引切线长相等,则方程是P点的轨迹方程. 两圆外离是将相交两圆的圆心距扩大所致,所以可以进行类比推理. 【例4-1】:(07四川理15)、已知的方程是,的方程是,由动点向和所引的切线
5、长相等,则动点的轨迹方程是 【解析】::圆心,半径;:圆心,半径.两圆外离.动点的轨迹由两圆方程相减可得:. 【例4-2】:(新课标人教版A必修二,P144,复习参考题A组7题)求与圆关于直线对称的圆的方程. 【注意】:圆C和直线是相外离,所以对称后的两圆位置关系是外离,但是由于与已知圆共弦的圆不能唯一确定,所以通过类比此题不能用公共弦所在直线方程的思路来处理. 【解析】:圆C圆心(),,设所求圆方程为,直线是两圆连心线的垂直平分线.∴∴所求圆的方程为. 同类
6、型的题还有(新课标人教版A必修二,P133,习题4.2,A组7题),求与圆C:关于直线L:对称的圆的方程. 同学们可以参照例题4-2求解.
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