2、域:开区间(a,a+δ)(1)设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记为U(a,δ)，即点a称为该邻域的中心，称δ为该邻域的半径.a一、函数1.函数的基本概念定义1.1设D为一个非空实数集合,若存在确定的对应法则f,使得对于数集D中的任意一个实数x,按照f都有唯一确定的实数y与之对应,则称f是定义在集合D上的函数.D称为函数f的定义域,x称为自变量,y称为因变量,或称y为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作f(D),即因变量自变量函数的两要素定义域D与对应法则f.如果两个
3、函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．例如，对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.给出的对应法则中,附加“”在由方程的条件,就可得到一个单值分支2.函数的表示法表格法、图形法、解析法（公式法).点集称为函数的图形.例1绝对值函数定义域D=(－∞,+∞),值域为[0,+∞).OxyOxy1-1xyo例
4、2符号函数定义域为D=(－∞,+∞),值域为f(D)={1,0,－1}.显然DD)(xfy=函数3.反函数定义1.2设有函数y=f(x),其定义域为D,值域为f(D),如果对于f(D)中的每一个y值,都可以从关系式y=f(x)确定唯一的x值(xD)与之对应,那么所确定的以y为自变量的函数称为函数y=f(x)的反函数,记为x=(y).它的定义域为f(D),值域为D.直接函数与反函数的图形关于直线对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.二、函数的基本特性1.有界性oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX无界(2)有界与否是和区间I有关的.(1
5、)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:使(3)证明无界的方法:对于任意正数M,总存在定义1.3设函数f(x)在区间I上有定义,若存在一个正数M,当xI时,恒有
6、f(x)
7、≤M,则称函数f(x)为I上的有界函数;否则称f(x)为I上的无界函数无界.2.单调性xyo则称函数f(x)在区间I上是单调增加的;定义1.4设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于区间I上任意两点和当时,恒有xyo及则称函数f(x)在区间I上是单调减少的;如果对于区间I上任意两点当时,恒有3.奇偶性偶函数yxox-x定义1.5设函数f(x)的定义域D关于原点对称,如果对于任意xD,
8、都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数y=cosx是偶函数.奇函数yxox-x奇函数的图形关于原点对称.函数y=sinx是奇函数.函数y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.定义1.5设函数f(x)的定义域D关于原点对称,如果对于任意xD,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.4.周期性函数sinx,cosx的周期是函数tanx的周期是（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.定义1.6设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得对于任意,
9、等式有理数点无理数点•1xyo例3狄利克雷函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.例4设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)和奇函数h(x),使得证先分析如下:假若这样的g(x)、h(x)存在,使得(1)且于是有(2)利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).作则证毕.三、初等函数(1)幂函数(是常数)基本初等函数(2)指数函数(3)对数函数(4)三角函数正弦函数余弦函数正切函数(5)反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函
10、数.2.复合函数定义1.8设函数y=F
