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1、4 用因式分解法求解一元二次方程 会用因式分解法解一元二次方程.能根据一元二次方程的特征,选择适当的求解方法,体会解决问题的灵活性和多样性.体会用因式分解实现“降次”、“化归”的思想方法.【重点】 用因式分解法解一元二次方程.【难点】 将方程右边化为零后,对左边进行正确的因式分解.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习因式分解的方法. 导入一:1.用配方法解一元二次方程的关键是什么?(将方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式)2.用公式法解
2、一元二次方程应先做什么?(将方程化为一般形式)3.选择合适的方法解下列方程.(1)x2-6x＝7; (2)3x2＋8x-3＝0.[设计意图] 以问题串的形式引导学生思考,回忆两种解一元二次方程的方法,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络,为学生后面的学习做好铺垫.导入二:在上课之前,要求大家复习因式分解的方法,下面我们看一个小问题:一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎样求出来的?小颖、小明、小亮都设这个数为x,根据题意,可得方程x2＝3x,但是他们的解法却各不相同.小颖:由方程,得x
3、2-3x＝0,因此x＝3±92,所以x1＝0,x2＝3,所以这个数是0或3.小明:方程x2＝3x的两边同时约去x,得x＝3.所以这个数是3.小亮:由方程x2＝3x,得x2-3x＝0,即x(x-3)＝0,于是x＝0或x-3＝0,因此x1＝0,x2＝3,所以这个数是0或3.他们做得对吗?为什么?你是怎么做的?[设计意图] 这个问题比较简单,学生未必选用配方法或公式法求解,部分学生可能会选用小明和小亮的方法.“你是怎样求出来的?”意在引导学生思考其他求解方法,学生的解法可能是多种多样的.一、概念引入思路一 [过渡语] 同学们,
4、老师被一道题难住了,想请同学们帮助一下.【课件】 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果能,这个数是几?你是怎样求出来的?学生独自完成,教师巡视指导,选择不同答案准备展示.【生1】 设这个数为x,根据题意,可列方程x2＝3x,∴x2-3x＝0,∵a＝1,b＝-3,c＝0,∴b2-4ac＝9,∴x1＝0,x2＝3,∴这个数是0或3.【生2】 设这个数为x,根据题意,可列方程x2＝3x,∴x2-3x＝0,∴x2-3x＋322＝322,即x-322＝94,∴x-32＝32或x-32＝-32,∴x1＝3,x2＝0,∴这个数
5、是0或3.【生3】 设这个数为x,根据题意,可列方程x2＝3x,∴x2-3x＝0,即x(x-3)＝0,∴x＝0或x-3＝0,∴x1＝0,x2＝3,∴这个数是0或3.【生4】 设这个数为x,根据题意,可列方程x2＝3x,两边同时约去x,得x＝3,∴这个数是3.【师】 同学们在下面用了多种方法解决此问题,观察以上四个同学的做法,是否存在问题?你认为哪种方法更合适?为什么?【生5】 我认为第四位同学的做法不正确,因为要方程两边同时约去x,必须确保x不等于0,但题目中没有说明.【生6】 补充一点,刚才讲x需确保不等于0,而此题恰
6、好x＝0,所以不能约去,否则会丢根.【师】 这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密,相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励,激发学生的学习热情)现在请第三位同学为大家说说他的想法.【生3】 由x(x-3)＝0,得x1＝0或x2＝3,因为我想3×0＝0,0×(-3)＝0,0×0＝0,反过来,如果ab＝0,那么a＝0或b＝0,所以a与b至少有一个等于0.【师】 好,这时我们可这样表示:如果a×b＝0,那么a＝0或b＝0,这就是说,当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时,这两个一元一次方程中用的是“或”,而不用“且”
7、,所以由x(x-3)＝0得到x＝0或x-3＝0时,中间应写上“或”字.我们再来看第三位同学解方程x2＝3x的方法,他是把方程的一边变为0,而另一边分解成两个因式的乘积,然后利用若ab＝0,则a＝0或b＝0,把一元二次方程变成一元一次方程,从而求出方程的解.我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就采用因式分解法来解一元二次方程.[设计意图] 通过独立思考,使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感态度,提高
8、学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展,同时进一步点明因式分解的理论依据及实质,总结本节课的重点.思路二 [过渡语] (针对导入二)同学们,下面我们来总结一下他们三个同学的做法.小明的做法是不正确的,方程两边同时除以x,这样解使方程少了一个解,原因在于两边同时除以的因式x可能为
